Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti
Avrei bisogno di aiuto con un esercizio di topologia algebrica: in pratica si tratta di calcolare il gruppo fondamentale del grafo degli spigoli di un tetraedro e successivamente calcolare il gruppo fondamentale dello stesso grafo a cui viene aggiunta una faccia del tetraedro (spero di non essermi spiegato troppo male ). Dunque per la prima parte dell'esercizio non ho problemi perchè il primo spazio topologico è omotopo al bouquet di tre circonferenze dunque il suo gruppo ...
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano per risolvere questo esercizio
Si diano con precisione le definizioni degli spazi vettoriali: $ R^4 $ e $ M_2,2 (R) $
In ciscuno di questi 2 casi si diano esempi di
a) un insieme di generatori non linearmente indipendenti
b) un insieme di due o piu vettori che siano linearmente indipendenti e non generino lo spazio
io ho provato a svolgerlo cosi
A) $ R^4 $ ----> v1 (1,0,0,0) ; v2 (0,1,0,0) ; v3 (0,0,1,0); v4 (0,0,0,1) ; v5 ...
Buon pomeriggio ragazzi, non riesco a risolvere l'esercizio in oggetto. Sono riuscito a trovare due punti $P(23/7, 1/7, 10/7)$ e $Q (8/7,3/7,13/7)$ simmetrici rispetto ad un piano. l'equazione della retta simmetrica rispetto ad un piano è:
$ (-7x+23)/15=(7y-1)/2=(7z-10)/3 $ ??
Se è così, come posso metterla a sistema in maniera tale da semplificarla?
GRazie mille anticipatamente
Salve, vorrei proporvi un esercizio che non so fare:
"dato il sottospazio vettoriale: [size=150]U= Span (e1 -e2 -9e3 +2e4; 2e1 +e2 -27e3 +e4; +e2 -3e3 -e4)[/size] incluso in [size=150]R^4[/size] scrivi equazioni parametriche e cartesiane di U"
grazie per le future risposte!
Buona sera ragazzi, avrei un problema che riguarda il trovare gli autospazi.
Allora, so che per trovare l'autospazio relativo ad un autovalore bisogna risolvere il seguente sistema lineare:
$(A-\lambda_i I) x=0 $
Ma non riesco a capire una cosa...come faccio a capire che l'autospazio relativo ad un autovalore è generato da un vettore o da più vettori? Cioè come faccio a capire la dimensione dell'autospazio?
SPero di essere stato chiaro..una buona serata
Ciao a tutti, sperando in un aiuto o anche una dritta vi pongo il mio problema su cui mi sto scervellando da due settimane
Ho il sistema di 3 equazioni in tre incognite con 2 parametri e devo studiare quando ammette soluzioni.
Ecco
Kx+y-(k-1)z=1
x+ky-z=a-7
-2x+(a-4)y+2z=h-1
Io avrei pensato di trovare determinante della matrice dei coefficenti tramite sviluppo, e ho trovato detA=-4-2k
Dopo con gauss trovare det il problema e che 1 mi vengono calcoli assurdi, 2 non so se sto facendo bene ...
Siano dati 3 vettori v1,v2,v3 non nulli di R^4, sia E=L[v1,v2,v3] e si supponga la dimE=3
1) E' vero che i vettori v1,v2,v3 sono linearmente indipendenti?
2) Possiamo trovare un vettore w che appartiene a R^4 tale che l'insieme dei vettori ( v1,v2,v3,w) generi R^4 ?
Ciao a tutti, avrei questo problema su questo esercizio:
Sia v ∈ R^3 un vettore avente componenti (−1,0,7) rispetto alla base B di R^3, B ={(1,1,1),(2,3,1),(1,0,0)}. Determinarne le componenti di v rispetto alla base B1 ={(1,0,2),(1,3,1),(1,1,0)} (5 punti).
Le soluzioni dell'esercizio sono: Sol: (1,-3,8) ma a me vengono altri risultati.
il procedimento che ho utilizzato è il seguente...
(-1,0,7)= a(1,0,2) + b(1,3,1) + c(1,1,0).
{a+b+c= -1
3b+c=0
2a+b=7}
è giusto come procedimento? grazie ...
Salve avrei un dubbio sul seguente esercizio sulle applicazioni lineari:
Sia $ f: R^3->R^3$ l'applicazione lineare con polinomio caratteristico $p(\lambda$)= $(2-\lambda)^3$. Si ha:
1) $f$ è diagonalizzabile e invertibile.
2)$f$ non è diagonalizzabile ed è invertibile
3)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=2Id$
4)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=\pm2Id$
5)nessuna delle altre risposte.
Se il polinomio ...
Ciao a tutti!
Facendo un esercizio mi si chiede di trovare, dati due sottospazi U e V, una base di U e una di V, la base della somma e dell'intersezione.
Ho trovato che una base di U è $<(1,2,1),(0,1,0)>$ e una base di V è $<(-2,1,0),(-1,0,1)>$
Poi negli ultimi due punti dell'esercizio mi si chiede:
a) risulta $U+V=\mathbb{R}^3$ ?
b) risulta $U\oplus V=\mathbb{R}^3$?
Dai calcoli mi risulta che $dim (U+V)=3$ e $(U\oplus V)=(1,2,1),(0,1,0),(-2,1,0)$ e quindi $dim(U\oplus V)=3$.
Sia al quesito a) che al quesito b) risponderei ...
Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi nel dimostrare la seguente teoria: ogni spazio vettoriale su R non nullo contiene un numero infinito di vettori.
Ho guardato sui libri e su internet e non riesco a trovare nessuna dimostrazione o comunque niente di analogo per porter dimostrarla.
Grazie mille per l'aiuto!
Salve a tutti,
come da titolo vorrei qualche consiglio su eserciziari di algebra lineare con problemi "non-standard". Conoscete qualcosa di bello? Anche in inglese va bene ( considerate che sono al primo anno )
Sia f : R^4 ----> R^4 l'unico endomor fismo di R^4 tale che:
f(e1) = 2e2
f(e2) = 3e3
f(e3) = 4e4
f(e4) = 0;
dove
(e1; e2; e3; e4) e la base canonica di R4.
a) Determinare la matrice rapprentativa di f
b )Determinare una base di Kerf e una base di Imf e stabilire se R4 = Kerf somma diretta Imf.
Buongiorno a tutti.
Ho un problema concettuale riguardo un passaggio nella dimostrazione che il cambio di coordinate rispetto a due sistemi di riferimento cartesiani $R={O,e_1,e_2}$ ed $R'={O',e_1',e_2'}$ ovviamente nel piano.
Siano \(P=\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\) e \( P'=\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\) le coordinate del vettore P rispetto alle due basi.
Il professore nelle sue dispense scrive:
"...Vogliamo esprimere ora la relazione tra le coordinate di P rispetto ad R e ...
se ho un matrice A: $[ ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 3 ) ] $
il polinomio caratteristico calcolato è: $lambda^3-4lambda^2+lambda=0$
dal quale ricavo i lambda che annullano.
e sono $0$, $2-sqrt(3) $ , $2+sqrt(3) $
ora sto provando a ricavare gli autovettori riducendo a scala la matrice iniziale con uno degli autovalori con radice, ma si sta rivelando più complicato del previsto. o meglio non riesco a ridurre a scala facilmente.
l'idea di ridurre la matrice è per semplificare la ricerca del ...
se ho una matrice A= $ [ ( 1 , -1 ),( -2 , 2 ) ] $ , e S uno sottospazio = { M$in$M2(R) : AM=MA=0 }
dovrei dimostrare che S è uno sottospazio di M2(R), e dovrei trovare la dimensione.
come potrei procedere?
grazie
ciao
pongo il quesito poichè sono molto arrugginito in geometria..
dato il sistema lineare del tipo : $\mathbf{y^{\prime}} = \mathbb{A} \mathbf{y} $
dove $\mathbb{A}$ è la matrice dei coefficienti.. mi chiedevo quale ruolo giocasse la diagonalizzabilità di tale matrice per la determinazione di una base di soluzioni di tale sistema lineare..
spero di non aver chiesto una castroneria.. purtroppo non ricordo molto circa diagonalizzabilità, autovettori relativi e altro..
vi ringrazio
ciao ho un problema qualcuno mi sa dimostrare questi 2 teoremi
1) un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se gli autospazi sono in somma diretta
2) la somma delle molteplicita geometriche degli autovalori=n se solo se gli autospazi sono in somma diretta
grazie ragazzi siate dettagliati se potete
Salve a tutti vi sottopongo un quesito evidentemente facile tanto che le mie dispense lo danno come assunto, ma che io non riesco a risolvere:
Si consideri $K$ campo algebricamente chiuso; consideriamo la matrice $A in K^(nxxn)$ e definiamo su essa il sottospazio $V_\lambda(A) in K^n$ tale che
$V_\lambda(A)=Ker(A-\lambda I)$ con $I$ la matrice identità e $\lambda in \sigma(A)$ (con $\sigma(A)$ indico lo spettro di $A$).
E fin qui direi che $V_\lambda(A)$ altro ...
Ciao a tutti, non so se va bene lo svolgimento di questo esercizio:
Sia $ k $ l'insieme di tutti i numeri reali che possono essere scritti nella forma
$ a+b•2^(1/2) $ con $ a, b $ due numeri razionali.Dimostrare che $ k $ è un corpo
Diciamo che K è un corpo se sono soddisfatte queste proprietà:
1)se $ x, y $ sono elementi di $ k $ allora $ x+y $ e $ xy $ sono elementi di $ k $
Quindi presi due valori per ...
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