Corpo k
Ciao a tutti, non so se va bene lo svolgimento di questo esercizio:
Sia $ k $ l'insieme di tutti i numeri reali che possono essere scritti nella forma
$ a+b•2^(1/2) $ con $ a, b $ due numeri razionali.Dimostrare che $ k $ è un corpo
Diciamo che K è un corpo se sono soddisfatte queste proprietà:
1)se $ x, y $ sono elementi di $ k $ allora $ x+y $ e $ xy $ sono elementi di $ k $
Quindi presi due valori per $ a, b $ notiamo che possono essere moltiplicati e sommati
2) se $ x $ appartiene a $ k $, allora $-x $ è un elemento di $ k $; se inoltre $ x $ è diverso da 0, anche
$ x^(-1) $ è appartenente a $ k $.
quindi presi due valori per $ a, b $ notiamo che anche la 2 e verificata, inoltre 0 appartiene a $ k $
Quindi appartirne a $ k $.
Sia $ k $ l'insieme di tutti i numeri reali che possono essere scritti nella forma
$ a+b•2^(1/2) $ con $ a, b $ due numeri razionali.Dimostrare che $ k $ è un corpo
Diciamo che K è un corpo se sono soddisfatte queste proprietà:
1)se $ x, y $ sono elementi di $ k $ allora $ x+y $ e $ xy $ sono elementi di $ k $
Quindi presi due valori per $ a, b $ notiamo che possono essere moltiplicati e sommati
2) se $ x $ appartiene a $ k $, allora $-x $ è un elemento di $ k $; se inoltre $ x $ è diverso da 0, anche
$ x^(-1) $ è appartenente a $ k $.
quindi presi due valori per $ a, b $ notiamo che anche la 2 e verificata, inoltre 0 appartiene a $ k $
Quindi appartirne a $ k $.
Risposte
Non va bene affatto, come dimostri che ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo in \(\displaystyle k\)?
Sarebbe $ x^(-1) $ l inverso moltiplicativo??
Cioè verrebbe $ 1/ ( a+b•2^(1/2)) $ , quindi se scegliamo 2 valori di $ a, b $ ci viene un numero ( se $ x $ é diverso da 0 )
Cioè verrebbe $ 1/ ( a+b•2^(1/2)) $ , quindi se scegliamo 2 valori di $ a, b $ ci viene un numero ( se $ x $ é diverso da 0 )
Sì, e come scrivi questo elemento come \(\displaystyle c+\sqrt{2}d\) con \(\displaystyle c,d\in\mathbb{Q}\)?
$ 2^(1/2) $ è irrazionale, quindi $ c+√2•d $ non forma un corpo su $ QQ $ o su $ N $ , ma lo forma su $ RR $ e $ CC $ , giusto?
"6x6Casadei":Sì e che c'entra?
$ 2^(1/2) $ è irrazionale...
Il resto, a meno che tu non ti stia riferendo agli [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_elementhttp://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element]1-campi[/url], è privo di significato.
Infine, la mia domanda è un'altra: come scrivi la frazione \(\displaystyle\frac{1}{a+b\sqrt{2}}\) come \(\displaystyle c+d\sqrt{2}\) con \(\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Q}\)?
$ 1/ (c + d•2^(1/2)) $ cosi?
No, assolutamente!
Mai sentito parlare di razionalizzazione?, l'esempio classico è il seguente:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot1=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Mai sentito parlare di razionalizzazione?, l'esempio classico è il seguente:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot1=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Ah ok!
Se razionalizzo viene $( a+b•2^(1/2))/(a^2 + b^2•2) $
Se razionalizzo viene $( a+b•2^(1/2))/(a^2 + b^2•2) $
...e io lo sapevo! (Totò)
A questo punto mi sorge una domanda: come hai dimostrato che \(\displaystyle k\) è chiuso per somma, prodotti e passaggio all'opposto? Non riesci manco a calcolare l'inverso di un numero (reale) mediante la razionalizzazione!
Se ti chiedo qual è la definizione di elemento inverso rispetto al prodotto, cosa mi rispondi?
A questo punto mi sorge una domanda: come hai dimostrato che \(\displaystyle k\) è chiuso per somma, prodotti e passaggio all'opposto? Non riesci manco a calcolare l'inverso di un numero (reale) mediante la razionalizzazione!
Se ti chiedo qual è la definizione di elemento inverso rispetto al prodotto, cosa mi rispondi?
Io l'avevo pensato cosi sulla somma e prodotto:
$ ( a+b•2^(1/2)) + (c+d•2^(1/2)) $ è possibile sempre
$ ( a+b•2^(1/2)) • (c+d•2^(1/2)) $ è possibile sempre
l'inverso del prodotto sarà 1/prodotto
$ ( a+b•2^(1/2)) + (c+d•2^(1/2)) $ è possibile sempre
$ ( a+b•2^(1/2)) • (c+d•2^(1/2)) $ è possibile sempre
l'inverso del prodotto sarà 1/prodotto
Certo che sono possibili, e completando il calcolo ottieni che:
\[
(a+c)+\sqrt{2}(b+d)\in k,\\
(ac+2bd)+\sqrt{2}(ad+bd)\in k
\]
mentre:
\[
a+\sqrt{2}b\in k\Rightarrow (-a)+\sqrt{2}(-b)\in k
\]
in quanto \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è un campo!
Il tuo problema è dato \(\displaystyle a+\sqrt{2}b\in k^{\times}\), sai che esiste \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[
x\cdot(a+\sqrt{2}b)=1
\]
e la domanda è \(\displaystyle x\in k\)?
\[
(a+c)+\sqrt{2}(b+d)\in k,\\
(ac+2bd)+\sqrt{2}(ad+bd)\in k
\]
mentre:
\[
a+\sqrt{2}b\in k\Rightarrow (-a)+\sqrt{2}(-b)\in k
\]
in quanto \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è un campo!
Il tuo problema è dato \(\displaystyle a+\sqrt{2}b\in k^{\times}\), sai che esiste \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[
x\cdot(a+\sqrt{2}b)=1
\]
e la domanda è \(\displaystyle x\in k\)?
sai che esiste x∈R tale che:
x⋅(a+2√b)=1
Per quale teorema è possibile questo? Se per esempio a=b=0 non puo' venire 1
e la domanda è x∈k?
se è un numero reale appartiene a k
Ho corretto!
"6x6Casadei":Ma perché: \(\displaystyle k=\mathbb{R}\)?
...se è un numero reale appartiene a k
Da libro: "Sia K un sottoisieme dell'insieme $ CC $ dei numeri complessi"
Io avevo scritto così perché forse avevo frainteso la frase
Qua viene detto che $ x $ appartiene a $ RR $ , quindi se $ x $ é un numero reale appartiene al sottoinsieme $ CC $ dei numeri complessi, quindi appartiene al campo! Io avevo pensato questa soluzione qua!
Io avevo scritto così perché forse avevo frainteso la frase
sai che esiste x∈R tale che:
x⋅(a+2√b)=1 la domanda è x∈k?
Qua viene detto che $ x $ appartiene a $ RR $ , quindi se $ x $ é un numero reale appartiene al sottoinsieme $ CC $ dei numeri complessi, quindi appartiene al campo! Io avevo pensato questa soluzione qua!
Se ragioni in questa maniera, quell'\(\displaystyle x\) potrebbe appartenere a un qualsiasi campo tra \(\displaystyle\mathbb{Q}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\)... e in coseguenza a un teorema di Cantor, giusto per cronaca, tali campi intermedi formano un insieme "grande" quanto l'insieme dei numeri reali.
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