Definizione "quasigruppo"
ho deciso "amatorialmente" di studicchiare qualche concetto di base dell'algebra lineare e avrei qualche dubbio a riguardo di alcuni concetti inerenti all'argomento piu generale delle strutture algebriche
in primis la definizione di quasigruppo:
Un quasigruppo è un magma $ \( (Q,*) \) $ dove $ Q $ è un insieme, \( * \) una operazione binaria \( *:Q \times Q\rightarrow Q \) tale che per ogni \( a,b \) in \( Q \) esiste un unico elemento \( x \) e un unico elemento \( y \) tali che:
. \( a*x=b \)
. \( y*a=b \)
Le uniche soluzioni di queste equazioni sono di sovente scritte come:
. \( x=a\b \)
. \( y=b/a \)
Gli operatori ) \( \ \) e \( / \) sono denominati rispettivamente divisione sinistra e divisione destra.
Poi tra gli esempi continua dicendo:
L'insieme Z degli interi con l'operatore sottrazione (-) forma un quasigruppo.
Ora io mi chiedo come sia possibile seguendo quella definizione(che poi la soluzione della prima relazione non dovrebbe essere \( x=b/a \) ? ) ? con la sottrazione non mi pare che x e y abbiano una soluzione di quel tipo o sbaglio? si sta riferendo solo al prodotto?
inoltre nella definizione il simbolo di operazione \( * \) se non ho capito male fa riferimento a una qualsiasi operazione che soddisfi quelle due condizioni,non riferendosi per forza al prodotto...
ah ultima cosa: in un gruppo quante devono essere le operazioni binarie interne che soddisfano le sue proprietà? deve essere 1 per forza o possono essercene piu di una? in questo ultimo caso si parla di un singolo gruppo contenente piu operazioni interne oppure di piu gruppi associati a quel certo insieme di sostegno,ognuno per 1 operazione binaria che soddisfa la definizione stessa di gruppo?
grazie
in primis la definizione di quasigruppo:
Un quasigruppo è un magma $ \( (Q,*) \) $ dove $ Q $ è un insieme, \( * \) una operazione binaria \( *:Q \times Q\rightarrow Q \) tale che per ogni \( a,b \) in \( Q \) esiste un unico elemento \( x \) e un unico elemento \( y \) tali che:
. \( a*x=b \)
. \( y*a=b \)
Le uniche soluzioni di queste equazioni sono di sovente scritte come:
. \( x=a\b \)
. \( y=b/a \)
Gli operatori ) \( \ \) e \( / \) sono denominati rispettivamente divisione sinistra e divisione destra.
Poi tra gli esempi continua dicendo:
L'insieme Z degli interi con l'operatore sottrazione (-) forma un quasigruppo.
Ora io mi chiedo come sia possibile seguendo quella definizione(che poi la soluzione della prima relazione non dovrebbe essere \( x=b/a \) ? ) ? con la sottrazione non mi pare che x e y abbiano una soluzione di quel tipo o sbaglio? si sta riferendo solo al prodotto?
inoltre nella definizione il simbolo di operazione \( * \) se non ho capito male fa riferimento a una qualsiasi operazione che soddisfi quelle due condizioni,non riferendosi per forza al prodotto...
ah ultima cosa: in un gruppo quante devono essere le operazioni binarie interne che soddisfano le sue proprietà? deve essere 1 per forza o possono essercene piu di una? in questo ultimo caso si parla di un singolo gruppo contenente piu operazioni interne oppure di piu gruppi associati a quel certo insieme di sostegno,ognuno per 1 operazione binaria che soddisfa la definizione stessa di gruppo?
grazie
Risposte
Non ti confondere tra notazione additiva e moltiplicativa!
Infatti, applica la definizione a \(\displaystyle(\mathbb{Z},-)\)...
Infatti, applica la definizione a \(\displaystyle(\mathbb{Z},-)\)...
dunque se applico la definizione a \( (Z,-) \) devo considerare le due condizioni:
\( a-x=b \)
\( y-a=b \)
e le cui uniche soluzioni x e y non sono pero piu del tipo :
. \( x=a\b \)
. \( y=b/a \)
giusto? quelle erano riferite al prodotto no?
dunque sarebbero soluzioni del tipo: \( x=a-b \) e \( y=b-a \) ?
è corretto ciò che dico?
\( a-x=b \)
\( y-a=b \)
e le cui uniche soluzioni x e y non sono pero piu del tipo :
. \( x=a\b \)
. \( y=b/a \)
giusto? quelle erano riferite al prodotto no?
dunque sarebbero soluzioni del tipo: \( x=a-b \) e \( y=b-a \) ?
è corretto ciò che dico?
Sì,e non ti far imbrogliare dalle notazioni! 
grazie!!
è che con il simbolo \( * \) in definizioni precedenti faceva riferimento a un'operazione interna generica e non alla moltiplicazione nota...
ah un 'ultima cosa: ho guardato la definizione di spazio vettoriale e mi dice che si tratta di una struttura algebrica dotata di
1) un campo \( K \)
2)un insieme \( V \) i cui elementi sono i vettri
3)due operazioni binarie,dette di somma e di moltiplicazione per scalare.
ora due riflessioni avrei da fare:
1)lo spazio vettoriale è una struttura algebrica piu complessa in quanto oltre all'insieme di sostegno V (i cui elementi sono i vettori) per essere definito necessita anche di un Campo,oltre che di due operazioni di cui una esterna.
2) qui cita appunto due operazioni la somma e il prodotto cosi definite:
operazione binaria interna a V di SOMMA: \( +:V\times V\rightarrow V \)
MOLTIPLICAZIONE per uno scalare esterno a V: \( *:K\times V\rightarrow V \)
Ora a assere precisi oltre a queste due applicazioni che agiscono comunque entrambe fornendo come output un elemento di V (nonostante una sia esterna) mi pare ce ne siano altre due: quella di somma e moltiplicazione canonica associata al campo K giusto? visto che il campo per definizione necessita di due operazioni interne binarie....e quelle citate da me all'inizio non lo possono essere: devono percio per forza essercene altre due di operazioni
Sono corrette le riflessioni che faccio a riguardo?
grazie ancora per la disponibilità
è che con il simbolo \( * \) in definizioni precedenti faceva riferimento a un'operazione interna generica e non alla moltiplicazione nota...
ah un 'ultima cosa: ho guardato la definizione di spazio vettoriale e mi dice che si tratta di una struttura algebrica dotata di
1) un campo \( K \)
2)un insieme \( V \) i cui elementi sono i vettri
3)due operazioni binarie,dette di somma e di moltiplicazione per scalare.
ora due riflessioni avrei da fare:
1)lo spazio vettoriale è una struttura algebrica piu complessa in quanto oltre all'insieme di sostegno V (i cui elementi sono i vettori) per essere definito necessita anche di un Campo,oltre che di due operazioni di cui una esterna.
2) qui cita appunto due operazioni la somma e il prodotto cosi definite:
operazione binaria interna a V di SOMMA: \( +:V\times V\rightarrow V \)
MOLTIPLICAZIONE per uno scalare esterno a V: \( *:K\times V\rightarrow V \)
Ora a assere precisi oltre a queste due applicazioni che agiscono comunque entrambe fornendo come output un elemento di V (nonostante una sia esterna) mi pare ce ne siano altre due: quella di somma e moltiplicazione canonica associata al campo K giusto? visto che il campo per definizione necessita di due operazioni interne binarie....e quelle citate da me all'inizio non lo possono essere: devono percio per forza essercene altre due di operazioni
Sono corrette le riflessioni che faccio a riguardo?
grazie ancora per la disponibilità
Sì: hai le operazioni di somma di scalari e la somma di vettori, la moltiplicazione di uno scalare per un vettore e di scalari!
Ma non ci pensare troppo a come denotarle...
Ma non ci pensare troppo a come denotarle...
ok,grazie !!
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