Distanza minima tra 2 vettori

[luporaptor]

Dati i vettori $ x=[x1 x2 x3] $ e $ y(a)=a[-1 -1 -1] $ , $ ainR $ .
Determinare il valore di a* di a che rende minima la distanza tra x e y(a). Qual'è il significato geometrico di y(a*)?

Ps: in passato nel forum qualcuno ha posto una domanda molto simile però commettendo un errore nella scrittura del testo rendendone impossibile la risoluzione.

Ho provato nel seguente modo. Ho calcolato la distanza tra 2 vettori come:
$ d=sqrt((x1+a)^2+(x2+a)^2+(x3+a)^2) $

ma ora come trovo il valore di a che rende minima la distanza? e quale sarebbe il significato geometrico? grazie

[apatriarca]

L'insieme degli \(y(a)\) non è altro che una retta. Ti sta quindi geometricamente chiedendo qual'è il punto di una retta più vicino ad un punto dato.

Venendo al calcolo del minimo, credo sia prima di tutto importante osservare che spesso in questi casi è più utile considerare la distanza al quadrato piuttosto che quella reale. Se un valore di \(a\) è minimo per la distanza al quadrato lo sarà infatti anche per la distanza reale. In questo caso è tuttavia più semplice considerare il problema geometrico e risolvere quello. Come calcoleresti il punto di una retta più vicino ad un punto dato?

Quale sarebbe questo punto se la retta fosse quella di uno degli assi?

[luporaptor]

il punto della retta, più vicino al punto dato, è la proiezione sulla retta del punto stesso. Quello che mi crea confusione è l'avere un punto x generico e non dato.