Trovare $ker$ e $Im$ di $f$
ciao a tutti, vi chiedo aiuto.... devo trovare una base ker e una Im di ϕ (x,y,z) = (2x-y+z, x+2y-3z, x-3y+4z)
Parto col determinare i valori delle funzioni nei vettori della base canonica di R3 come segue:
ϕ (1, 0, 0) = (2, 1, 1)
ϕ (0, 1, 0) = (-1, 2, -3)
ϕ (0, 0, 1) = (1, -3, 4)
da cui, ricordando che i vettori immagine di una base dello spazio di partenza, in questo caso R3, è un sistema di generatori per l’immagine dell’applicazione, ovvero:
Im ϕ = <(2, 1, 1), (-1, 2, -3), (1, -3, 4)>
Per verificare se i vettori sono linearmente indipendenti considero i vettori come righe di una matrice e ne studio il rango:
$ | ( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 2 , -3 ),( 1 , -3 , 4 ) | = (16+3-3)-(2+18-4)=0 $
si considera quindi il minore di ordine 2 M(12|12) il cui determinate è:
det M(12|12) = 4-1 = 3 ≠ 0 non è ulteriormente orlabile quindi il minore di ordine 2 è il minore fondamentale, quindi vuol dire che solo due dei vettori sono linearmente indipendenti e sono quelli che appartengono al minore fondamentale.
La dimensione del sottospazio R3 immagine di ϕ è pari a 2: dim ϕ = 2, ed una base per l’immagine è data dai vettori che appartengono al minore fondamenta: Mim ϕ = {(2, 1, 1), (-1, 2, -3)}.
Per trovare il Ker ϕ considero che la somma delle dimensioni dell’immagine e del nucleo è uguale alla dimensione dello spazio di partenza, da cui: dim Ker ϕ = dim R3 – dim Im ϕ = 3 – 2 = 1
Per trovare una base di Ker ϕ ,bisogna trovare tutti quei vettori per i quali ϕ (x,y,z) = (2x-y+z, x+2y-3z, x-3y+4z) = (0, 0, 0) da cui
$ { ( 2x-y+z=0 ),( x+2y-3z=0 ),( x-3y+4z=0 ):} = $
È un sistema di tre equazioni in tre incognite, per cui $ { ( 2x-y+z=0 ),( x+2y-3z=0 ),( x-3y+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+2(2x+z)-3z=0 ),( x-3(2x+z)+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+4x+2z-3z=0 ),( x-6x-3z+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( -5x+z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-5x=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 0=0 ),( z=0 ):} = { ( y=0 ),( 0=0 ),( z=0 ):} = ker ϕ = {0} $
ma ker ϕ ha dimensione 1? e se si, qual'è una base?
poi ho un altro dubbio, se considero la matrice associata alle equazioni, ottengo che ha anch'essa rango 2 e non 1... come mi devo comportare in questi casi dove $ dim ker ϕ +dim Im ϕ = 2+2 > 3 $
Parto col determinare i valori delle funzioni nei vettori della base canonica di R3 come segue:
ϕ (1, 0, 0) = (2, 1, 1)
ϕ (0, 1, 0) = (-1, 2, -3)
ϕ (0, 0, 1) = (1, -3, 4)
da cui, ricordando che i vettori immagine di una base dello spazio di partenza, in questo caso R3, è un sistema di generatori per l’immagine dell’applicazione, ovvero:
Im ϕ = <(2, 1, 1), (-1, 2, -3), (1, -3, 4)>
Per verificare se i vettori sono linearmente indipendenti considero i vettori come righe di una matrice e ne studio il rango:
$ | ( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 2 , -3 ),( 1 , -3 , 4 ) | = (16+3-3)-(2+18-4)=0 $
si considera quindi il minore di ordine 2 M(12|12) il cui determinate è:
det M(12|12) = 4-1 = 3 ≠ 0 non è ulteriormente orlabile quindi il minore di ordine 2 è il minore fondamentale, quindi vuol dire che solo due dei vettori sono linearmente indipendenti e sono quelli che appartengono al minore fondamentale.
La dimensione del sottospazio R3 immagine di ϕ è pari a 2: dim ϕ = 2, ed una base per l’immagine è data dai vettori che appartengono al minore fondamenta: Mim ϕ = {(2, 1, 1), (-1, 2, -3)}.
Per trovare il Ker ϕ considero che la somma delle dimensioni dell’immagine e del nucleo è uguale alla dimensione dello spazio di partenza, da cui: dim Ker ϕ = dim R3 – dim Im ϕ = 3 – 2 = 1
Per trovare una base di Ker ϕ ,bisogna trovare tutti quei vettori per i quali ϕ (x,y,z) = (2x-y+z, x+2y-3z, x-3y+4z) = (0, 0, 0) da cui
$ { ( 2x-y+z=0 ),( x+2y-3z=0 ),( x-3y+4z=0 ):} = $
È un sistema di tre equazioni in tre incognite, per cui $ { ( 2x-y+z=0 ),( x+2y-3z=0 ),( x-3y+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+2(2x+z)-3z=0 ),( x-3(2x+z)+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+4x+2z-3z=0 ),( x-6x-3z+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( -5x+z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-5x=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 0=0 ),( z=0 ):} = { ( y=0 ),( 0=0 ),( z=0 ):} = ker ϕ = {0} $
ma ker ϕ ha dimensione 1? e se si, qual'è una base?
poi ho un altro dubbio, se considero la matrice associata alle equazioni, ottengo che ha anch'essa rango 2 e non 1... come mi devo comportare in questi casi dove $ dim ker ϕ +dim Im ϕ = 2+2 > 3 $
Risposte
Dai ragazzi ...qualcuno che mi aiuti....
Hai sbagliato a non assegnare a $x $ il ruolo di parametro libero. .
"feddy":
Hai sbagliato a non assegnare a $ x $ il ruolo di parametro libero. .
cioè... puoi dirmi qualcosa in più, magari con un esempio.... te ne sarei grato
"Ypsilon":
È un sistema di tre equazioni in tre incognite, per cui $ { ( 2x-y+z=0 ),( x+2y-3z=0 ),( x-3y+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+2(2x+z)-3z=0 ),( x-3(2x+z)+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( x+4x+2z-3z=0 ),( x-6x-3z+4z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( -5x+z=0 ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-z=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 5x-5x=0 ),( z=5x ):} = { ( y=2x+z ),( 0=0 ),( z=0 ):} = { ( y=0 ),( 0=0 ),( z=0 ):} = ker ϕ = {0} $
$ { ( y=7x ),( x=lambda ),( z=5x ):} $ , da cui $ { ( y=7lambda ),( x=lambda ),( z=5lambda ):} $ per cui $kerphi=langle((7),(1),(5))rangle$
"Ypsilon":
poi ho un altro dubbio, se considero la matrice associata alle equazioni, ottengo che ha anch'essa rango 2 e non 1... come mi devo comportare in questi casi dove $ dim ker ϕ +dim Im ϕ = 2+2 > 3 $
$dimker(phi)=1$ e non a 2 come hai riportato. Quindi per nullità più rango hai che l'immagine ha dimensione 2 e una sua base è data da due vettori lin. indipendenti della matrice associata.
scusa ma il Ker pari a zero è corretto? come mi risulta dal sistema di equazioni.... e se è corretto ker {0} ha base 1? (cmq se faccio il rango della matrice per determinare il ker mi da rango 2 non 1).
puoi spiegarmi per cortesia cosa intendevi per errore nell'assegnazione della x?
Grazie
puoi spiegarmi per cortesia cosa intendevi per errore nell'assegnazione della x?
Grazie
No, il ker non è nullo... te l'ho esplicitato nella mia ultima risposta ! Innanzitutto, sai cos'è il ker di un'applicazione lineare ?
Se sì, puoi verificarlo applicando la definizione dell'applicazione al vettore trovato.
per "errore nell'assegnazione della x" intendo che tale sistema ammette $infty^1$ soluzioni ! Ossia infinite sol dipendenti da un parametro. Forse ti conviene riguardarti un po' la teoria perché sono concetti base
Se sì, puoi verificarlo applicando la definizione dell'applicazione al vettore trovato.
per "errore nell'assegnazione della x" intendo che tale sistema ammette $infty^1$ soluzioni ! Ossia infinite sol dipendenti da un parametro. Forse ti conviene riguardarti un po' la teoria perché sono concetti base
$ { ( y=7x ),( x=lambda ),( z=5x ):} $ , da cui $ { ( y=7lambda ),( x=lambda ),( z=5lambda ):} $ per cui $ kerphi=langle((7),(1),(5))rangle $
$ dimker(phi)=1 $ e non a 2 come hai riportato. Quindi per nullità più rango hai che l'immagine ha dimensione 2 e una sua base è data da due vettori lin. indipendenti della matrice associata.[/quote]
Scusa ....non avevo letto la tua soluzione del sistema.... grazie per l'aiuto.
"Ypsilon":
poi ho un altro dubbio, se considero la matrice associata alle equazioni, ottengo che ha anch'essa rango 2 e non 1... come mi devo comportare in questi casi dove $ dim ker ϕ +dim Im ϕ = 2+2 > 3 $
$ dimker(phi)=1 $ e non a 2 come hai riportato. Quindi per nullità più rango hai che l'immagine ha dimensione 2 e una sua base è data da due vettori lin. indipendenti della matrice associata.[/quote]
Scusa ....non avevo letto la tua soluzione del sistema.... grazie per l'aiuto.
prego
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