Unirazionalità dei bundle conici
In quanto segue per "varietà" si intende "schema integrale, separato e di tipo finito su un campo algebricamente chiuso $k$ di caratteristica qualsiasi".
Una varietà $X$ è razionale se esiste un morfismo birazionale \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Una varietà $X$ è unirazionale se esiste un morfismo razionale dominante \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Un bundle conico è un morfismo tra varietà \(\varphi : X \dashrightarrow S\) tale che esista un aperto \(\emptyset \ne U \subset S\) ed una fattorizzazione della restrizione ad $U$ attraverso un'immersione (localmente chiusa) \(\displaystyle X_U := X \times_S U \to \mathbb P ^2_U \) le cui fibre siano coniche in \(\mathbb P ^2\).
Sia \(T \subset X\) una sottovarietà tale che la restrizione \(\varphi |_T : T \dashrightarrow S\) sia dominante. Dimostrare quanto segue:
Una varietà $X$ è razionale se esiste un morfismo birazionale \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Una varietà $X$ è unirazionale se esiste un morfismo razionale dominante \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Un bundle conico è un morfismo tra varietà \(\varphi : X \dashrightarrow S\) tale che esista un aperto \(\emptyset \ne U \subset S\) ed una fattorizzazione della restrizione ad $U$ attraverso un'immersione (localmente chiusa) \(\displaystyle X_U := X \times_S U \to \mathbb P ^2_U \) le cui fibre siano coniche in \(\mathbb P ^2\).
Sia \(T \subset X\) una sottovarietà tale che la restrizione \(\varphi |_T : T \dashrightarrow S\) sia dominante. Dimostrare quanto segue:
[*:35svjf5a]La fibra generica di \(\varphi\) è irriducibile.[/*:m:35svjf5a]
[*:35svjf5a]Se la fibra generica è una conica geometricamente integrale su $K(S)$ (il campo delle funzioni razionali su $S$), il morfismo \(\varphi |_T : T \to S\) è birazionale ed $S$ è razionale, allora $X$ è razionale.[/*:m:35svjf5a]
[*:35svjf5a]Se la fibra generica è una conica geometricamente integrale su $K(S)$ e $T$ è unirazionale, allora $X$ è unirazionale.[/*:m:35svjf5a][/list:u:35svjf5a]
Primo punto:
Dal momento che le varietà sono irriducibili, tutti gli aperti sono densi, quindi non si perde generalità a supporre che $X$ e $S$ siano affini, \(X= \operatorname{Spec} B\), \(S = \operatorname{Spec} A\). Di conseguenza il pullback di \(\varphi\) che definisce la fibra generica $X_{\eta}$ è effettuato lungo la mappa \[\operatorname{Spec} Q(A) \to S\] (dove $Q(A)$ è il campo de quozienti di $A$) indotta da quella canonica $A \to Q(A)$. Dunque, \[X_{\eta} = \operatorname{Spec} \left ( Q(A) \otimes _A B \right ),\] ma $B$ è integrale, quindi lo resta estendendo gli scalari, quindi \(X_{\eta}\) è uno schema ridotto e irriducibile.
È giusto?
Secondo:
Non saprei proprio. Suggerimenti?
Terzo:
Il fatto che $T$ sia birazionalmente equivalente ad $S$ implica che l'esistenza di una sezione razionale di \(\varphi |_T\), che a sua volta è equivalente all'esistenza di un punto \(K(S)\)-razionale in \(T_{\eta}\) e quindi in \(X_{\eta}\). Dal momento che una conica liscia con un punto razionale è isomorfa a \(\mathbb P^1_{K(S)}\), il campo delle funzioni razionali della fibra generica è \(K(S)(t)\). Ma il punto generico della fibra generica è anche il punto generico di $X$, quindi il campo delle funzioni razionali di $X$ è \(K(S)(t)\). Ora, $K(S)$ è puramente trascendentale su $k$, perché $S$ è unirazionale (lo è $T$, e \(\varphi |_T\) è dominante), quindi lo è anche $K(X)$, ergo $X$ è unirazionale.
Corretto?
Risposte
Scusa Epimenide93: non ho proprio capito il primo ragionamento!
Sappiamo che \(\displaystyle\varphi\) è definita come una classe di equivalenza \(\displaystyle[U,f]\) ove \(\displaystyle f:U\to S\) è un morfismo regolare ed \(\displaystyle U\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X\) che contiene tutti i punti associati di \(\displaystyle X\) (definizione di mappa razionale); e che esiste un rappresentante \(\displaystyle(U,f)\) di \(\displaystyle\varphi\) tale che \(\displaystyle\varphi(U)\) sia schematicamente denso in \(\displaystyle S\) (definizione di mappa razionale dominante). Dato che \(\displaystyle S\) è uno schema di tipo finito su \(\displaystyle k\), allora esso è uno schema localmente noetheriano; per la seconda ipotesi su \(\displaystyle\varphi\) si ha che \(\displaystyle f(U)\) possiede tutti i punti associati di \(\displaystyle S\), in particolare \(\displaystyle\eta\) (il punto generico di \(\displaystyle S\)) è in \(\displaystyle f(U)\).
Consideriamo il grafico \(\displaystyle\Gamma_f:U\to U\times_kS\hookrightarrow X\times_kS\) di \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle X\times_kS\); il grafico \(\displaystyle\Gamma_{\varphi}\) di \(\displaystyle\varphi\) è definito come la chiusura schematica di \(\displaystyle\Gamma_f\) in \(\displaystyle X\times_kS\). Perciò devi ragionare su \(\displaystyle\varphi^{-1}(\eta)=pr_1(pr_2^{-1}(\eta))\)!
Nota: Quivi sono \(\displaystyle pr_1:\Gamma_{\varphi}\to X\) e \(\displaystyle pr_2:\Gamma_{\varphi}\to S\).
Domanda: come usi la separatezza degli schemi in uso?
Sappiamo che \(\displaystyle\varphi\) è definita come una classe di equivalenza \(\displaystyle[U,f]\) ove \(\displaystyle f:U\to S\) è un morfismo regolare ed \(\displaystyle U\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X\) che contiene tutti i punti associati di \(\displaystyle X\) (definizione di mappa razionale); e che esiste un rappresentante \(\displaystyle(U,f)\) di \(\displaystyle\varphi\) tale che \(\displaystyle\varphi(U)\) sia schematicamente denso in \(\displaystyle S\) (definizione di mappa razionale dominante). Dato che \(\displaystyle S\) è uno schema di tipo finito su \(\displaystyle k\), allora esso è uno schema localmente noetheriano; per la seconda ipotesi su \(\displaystyle\varphi\) si ha che \(\displaystyle f(U)\) possiede tutti i punti associati di \(\displaystyle S\), in particolare \(\displaystyle\eta\) (il punto generico di \(\displaystyle S\)) è in \(\displaystyle f(U)\).
Consideriamo il grafico \(\displaystyle\Gamma_f:U\to U\times_kS\hookrightarrow X\times_kS\) di \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle X\times_kS\); il grafico \(\displaystyle\Gamma_{\varphi}\) di \(\displaystyle\varphi\) è definito come la chiusura schematica di \(\displaystyle\Gamma_f\) in \(\displaystyle X\times_kS\). Perciò devi ragionare su \(\displaystyle\varphi^{-1}(\eta)=pr_1(pr_2^{-1}(\eta))\)!
Nota: Quivi sono \(\displaystyle pr_1:\Gamma_{\varphi}\to X\) e \(\displaystyle pr_2:\Gamma_{\varphi}\to S\).
Domanda: come usi la separatezza degli schemi in uso?
"j18eos":
Sappiamo che \(\displaystyle\varphi\) è definita come una classe di equivalenza \(\displaystyle[U,f]\) ove \(\displaystyle f:U\to S\) è un morfismo regolare
Ok, a questo punto nessuno mi impedisce di limitarmi a guardare quello che succede in un aperto affine \(\operatorname{Spec} A \subset S\) e a restringermi in $U$ nella controimmagine schematica di \(\operatorname{Spec}A\). Restringo ulteriormente ad un aperto affine contenuto in tale controimmagine, che indico con \(\operatorname{Spec}B\). A questo punto la restrizione di $f$ è un morfismo regolare \(\operatorname{Spec}B \to \operatorname{Spec}A\) ed gli schemi in questione sono densi rispettivamente in $X$ ed $S$, quindi posso limitarmi a studiare le cose in questo setting.
"j18eos":
devi ragionare su \(\displaystyle\varphi^{-1}(\eta)=pr_1(pr_2^{-1}(\eta))\)!
La mia idea per descrivere la fibra era un'altra. Considero il morfismo \(\operatorname{Spec}\kappa (\eta) \to \operatorname{Spec} A \subset S\) che mi seleziona il punto generico (qui \( \kappa ( \eta ) = \mathcal{O}_{S, \eta } / \mathfrak{m} _{\eta}\)) e considero il pullback di $f$ lungo questa mappa. Lo schema che ottengo è la fibra generica, e dato che mi sono ridotto a lavorare con schemi affini, e che per le varietà \(\kappa(\eta) = K(S)\), tale fibra generica può essere descritta come in OP. Dov'è l'errore?
Ripeto, per come ti eri espresso non ho capito niente!
Secondo punto: la parte facile è rendersi conto che \(\displaystyle T\) è una varietà razionale; sul resto ci devo un po' pensare...
"Epimenide93":Quella che tu hai calcolato in realtà è \(\displaystyle f^{-1}(\eta)\), calcolo corretto tra l'altro; sono io che l'ho fatta troppo complicata: se assumi che \(\displaystyle U\) è un dominio di definizione massimale per \(\displaystyle\varphi\) hai concluso! (Perché?)
... Dov'è l'errore?
Secondo punto: la parte facile è rendersi conto che \(\displaystyle T\) è una varietà razionale; sul resto ci devo un po' pensare...
"j18eos":
Ripeto, per come ti eri espresso non ho capito niente!
Sorry, ho scritto un po' in fretta.
"j18eos":
se assumi che \(\displaystyle U\) è un dominio di definizione massimale per \(\displaystyle\varphi\) hai concluso! (Perché?)
boh? Non mi basta sapere che è aperto? Un insieme è irriducibile (nella topologia indotta) se e solo se lo è la sua chiusura, quindi prendo \(f^{-1}(\eta)\), lo chiudo in $X$ ed è ancora irriducibile. Mi serve la massimalità?"j18eos":
Secondo punto: la parte facile è rendersi conto che \(\displaystyle T\) è una varietà razionale
Dal momento che $S$ e $T$ sono birazionalmente equivalenti, esistono degli aperti $U \subset S$ e $V \subset T$ isomorfi, dato che $S$ è razionale, lo è ovviamente anche $U$, quindi lo è $V$ e di conseguenza lo è $T$. Dico bene?
"j18eos":
sul resto ci devo un po' pensare...
Io non saprei neanche da dove partire...
"Epimenide93":
...[quote="j18eos"]se assumi che \( \displaystyle U \) è un dominio di definizione massimale per \( \displaystyle\varphi \) hai concluso! (Perché?)
boh? Non mi basta sapere che è aperto? Un insieme è irriducibile (nella topologia indotta) se e solo se lo è la sua chiusura, quindi prendo \( f^{-1}(\eta) \), lo chiudo in $ X $ ed è ancora irriducibile. Mi serve la massimalità?...[/quote]No; facciamo un po' di chiarezza!Ci restringiamo a considerare il morfismo regolare di schemi affini \(\displaystyle\overline{f}:\mathrm{Spec}B\to\mathrm{Spec}A\) e sappiamo che \(\displaystyle V_{\eta}=\mathrm{Spec}(B\otimes_A\kappa(\eta))\) è la fibra schematica di \(\displaystyle\eta\) mediante \(\displaystyle\overline{f}\).
Nota 1: A priori non possiamo affermare che \(\displaystyle V_{\eta}\) è omeomorfo come spazio topologico ad \(\displaystyle\overline{f}^{-1}(\eta)\)!
Sapendo che ogni elemento di \(\displaystyle B\otimes_A\kappa(\eta)\) è del tipo \(\displaystyle a\cdot b\) con \(\displaystyle a\in B\) e \(\displaystyle b\) elemento invertibile di \(\displaystyle B\otimes_A\kappa(\eta)\), si ha che \(\displaystyle V_{\eta}\) è omeomorfo ad \(\displaystyle\overline{f}^{-1}(\eta)\) (cfr. Bosch - Algebraic Geometry and Commutative Algebra, proposizione 6.2.6).
Nota 2: Usando la irriducibilità di \(\displaystyle U\) (sottoinsieme aperto di uno spazio topologico irriducibile) si ha che ogni \(\displaystyle V_{\eta}\) è uno schema irriducibile, incollandoli assieme si ha che lo schema \(\displaystyle X_{\eta}=f^{-1}(\eta)\) è irriducibile; ma questo non inficia il calcolo dello schema stesso.
Supponendo che \(\displaystyle U\) sia un dominio di definizione massimale per \(\displaystyle\varphi\), si ha che non esistono punti di \(\displaystyle X\setminus U=Z\) sui quali sia definita \(\displaystyle\varphi\); ovvero
\[
\not\exists V\subseteq X\,\text{aperto,}\,g\in\mathcal{O}_X(V)\mid\varphi=[V,g],\,V\cap Z\neq\emptyset,
\]
in conseguenza le anti-immagini dei punti di \(\displaystyle S\) mediante un rappresentante di \(\displaystyle\varphi\) sono tutte contenute in \(\displaystyle U\)!
Nota 3: In quest'ultima parte del ragionamento non ho usato la irriducibilità di \(\displaystyle X\)!
Punto 2: Dato che non conosco i conic bundles, non è che in queste ipotesi scatta qualche proprietà simpatica degli stessi? Hai qualche riferimento bibliografico da indicarmi?
Comunque grazie, perché mi sto divertendo con la geometria algebrica razionale!
"j18eos":
Nota 1: A priori non possiamo affermare che \(\displaystyle f^{-1}_{|\mathrm{Spec}B}(\eta)\) è omeomorfo come spazio topologico ad \(\displaystyle\overline{f}^{-1}(\eta)\)!
Perché no? Indicando con \(\iota\) l'inclusione \(\operatorname{Spec} B \to U\) e con \(H\) l'inclusione \(\operatorname{Spec}(\kappa (\eta)) \to S\) si ha \[f|_{\operatorname{Spec} B} ^{-1} (\eta) = H^* f \iota = H^* \overline f = \overline f ^{-1} (\eta) \]
mi sfugge qualcosa?
"j18eos":
Nota 2: Usando la irriducibilità di \(\displaystyle U\) (sottoinsieme aperto di uno spazio topologico irriducibile) si ha che ogni \(\displaystyle f^{-1}_{|\mathrm{Spec}B}(\eta)\) è uno schema irriducibile, incollandoli si ha che lo schema \(\displaystyle X_{\eta}=f^{-1}(\eta)\) è irriducibile; ma questo non inficia il calcolo dello schema stesso.
Bello!
"j18eos":
Supponendo che \(\displaystyle U\) sia un dominio di definizione massimale per \(\displaystyle\varphi\), si ha che non esistono punti di \(\displaystyle X\setminus U=Z\) sui quali sia definita \(\displaystyle\varphi\)
Questo direi che non è vero in generale, massimale non vuol dire massimo. Ma, di nuovo, serve davvero? Non basta quanto detto finora per concludere?
"j18eos":
Punto 2: Dato che non conosco i conic bundles, non è che in queste ipotesi scatta qualche proprietà simpatica degli stessi? Hai qualche riferimento bibliografico da indicarmi?
Purtroppo no, è un esercizio datomi in un corso.
"j18eos":
Comunque grazie, perché mi sto divertendo con la geometria algebrica razionale!
Prego!
Scusami, ho fatto confusione tra le categorie degli schemi (su \(\displaystyle k\)) e degli spazi topologici (e delle funzioni continue).
Fammi sapere se sono stato più chiaro?!
Riguardo al dominio massimale di una mappa razionale: questi esiste sempre, perché?
Punto secondo: Usando la definizione dei conic bundle non accade nulla? Sono molto stanco, quindi non riesco a vedere nulla...
Fammi sapere se sono stato più chiaro?!
Riguardo al dominio massimale di una mappa razionale: questi esiste sempre, perché?
Punto secondo: Usando la definizione dei conic bundle non accade nulla? Sono molto stanco, quindi non riesco a vedere nulla...
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