Esistenza e unicità applicazione lineare
Salve 
Ho un dubbio veloce: data l'applicazione $h:R^3rarrR^3$ tale che
$h(1,0,1) = (2,0,2)$
$h(1,0,-1) = (1,1,1) $
$h(0,0,1) = (1/2, -1/2, 1/2)$
Devo capire se esiste ed è unica.
Ora, chiaro che il vettore (0,0,1) è linearmente dipendente dagli altri due, come anche la sua immagine nello stesso identico modo; basta quindi questo a definire l'applicazione sopra descritta come "esistente ed unica"?
Perchè io sapevo che, affinchè una applicazione esistesse, dovevo avere che i vettori del dominio formassero una base (quindi tutti indipendenti, al contrario di questo esempio).
Mi sono un po' intricato perchè nel quaderno ho scritto prima che è unica e poi che non lo è
Grazie!
Ho un dubbio veloce: data l'applicazione $h:R^3rarrR^3$ tale che
$h(1,0,1) = (2,0,2)$
$h(1,0,-1) = (1,1,1) $
$h(0,0,1) = (1/2, -1/2, 1/2)$
Devo capire se esiste ed è unica.
Ora, chiaro che il vettore (0,0,1) è linearmente dipendente dagli altri due, come anche la sua immagine nello stesso identico modo; basta quindi questo a definire l'applicazione sopra descritta come "esistente ed unica"?
Perchè io sapevo che, affinchè una applicazione esistesse, dovevo avere che i vettori del dominio formassero una base (quindi tutti indipendenti, al contrario di questo esempio).
Mi sono un po' intricato perchè nel quaderno ho scritto prima che è unica e poi che non lo è
Grazie!
Risposte
ciao,
per assicurarsi che esista, i vettori su cui agisce l'applicazione devono formare una base dello spazio di partenza, devono quindi essere linearmente indipendenti.
Inoltre, assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio V, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.
per assicurarsi che esista, i vettori su cui agisce l'applicazione devono formare una base dello spazio di partenza, devono quindi essere linearmente indipendenti.
Inoltre, assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio V, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.
Ecco quindi automaticamente, non essendo ${(1,0,1), (1,0,-1), (0,0,1)}$ una base, posso dire che tale applicazione non esiste?
Esatto
Ciao,
scusate se mi intrometto ma non mi trovo d'accordo con feddy: le condizioni date per $h$ non sono in contraddizione, infatti:
$h(1, 0, -1) = (1, 1, 1) = h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1)) = h(1, 0, 1) - 2h(0, 0,1)= (2, 0, 2) - 2( 1/2, -1/2, 1/2) = (1, 1, 1)$
Quindi $h$ esiste ma non è unica: infatti scelti due vettori fra ${(1, 0, -1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}$ posso completare a una base di $\mathbb{R^3}$ e definire una certa $h$. Cioè sostanzialemnte è come se avessero imposto solo due condizioni su $h$.
Se le condizioni fossero stati incoerenti[nota]per esempio se fosse stato $h(1, 0, -1) != h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1))$ che implica la non linearità di $h$[/nota] allora si sarebbe potuto dedurre la non esistenza.
scusate se mi intrometto ma non mi trovo d'accordo con feddy: le condizioni date per $h$ non sono in contraddizione, infatti:
$h(1, 0, -1) = (1, 1, 1) = h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1)) = h(1, 0, 1) - 2h(0, 0,1)= (2, 0, 2) - 2( 1/2, -1/2, 1/2) = (1, 1, 1)$
Quindi $h$ esiste ma non è unica: infatti scelti due vettori fra ${(1, 0, -1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}$ posso completare a una base di $\mathbb{R^3}$ e definire una certa $h$. Cioè sostanzialemnte è come se avessero imposto solo due condizioni su $h$.
Se le condizioni fossero stati incoerenti[nota]per esempio se fosse stato $h(1, 0, -1) != h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1))$ che implica la non linearità di $h$[/nota] allora si sarebbe potuto dedurre la non esistenza.
Certo, ringrazio shoker per la correzione! Chiaramente stavo pensando alla non unicità 
grazie
grazie
"Shocker":
Ciao,
scusate se mi intrometto [...]
Intromettiti pure quanto vuoi! Gentilissimo, grazie a entrambi ragazzi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo