Equazione cartesiana di un piano passante per 3 punti
Ciao, vorrei il vostro parere sulla risoluzione di questo esercizio: Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per i punti A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4).... io l'ho risolto così, vorrei avere un vostro parere
applico: $ | ( x-xa , y-ya , z-za ),( xb-xa , yb-ya , zb-za ),( xc-xa , yc-ya , zc-za ) | = 0 $
da cui: $ | ( x-1 , y-2 , z-3 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , -5 , 1 ) | = 0 $
passo poi a risolvere:
$ (x-1)| ( 0 , 1 ),( -5 , 1 )| = (x-1)*5 = 5x-5 $ ;
$ (y-2)| ( -2 , 1 ),( 1 , 1 )| = (y-2)*(-3) = -3y+6 $ ;
$ (z-3)| ( -2 , o ),( 1 , -5 )| = (z-3)*10 = 10z-30 $ ;
da cui $ 5x+3y+10z-5+6-30=0 $
e l'equazione mi risulta pari a $ 5x+3y+10z-29=0 $
applico: $ | ( x-xa , y-ya , z-za ),( xb-xa , yb-ya , zb-za ),( xc-xa , yc-ya , zc-za ) | = 0 $
da cui: $ | ( x-1 , y-2 , z-3 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , -5 , 1 ) | = 0 $
passo poi a risolvere:
$ (x-1)| ( 0 , 1 ),( -5 , 1 )| = (x-1)*5 = 5x-5 $ ;
$ (y-2)| ( -2 , 1 ),( 1 , 1 )| = (y-2)*(-3) = -3y+6 $ ;
$ (z-3)| ( -2 , o ),( 1 , -5 )| = (z-3)*10 = 10z-30 $ ;
da cui $ 5x+3y+10z-5+6-30=0 $
e l'equazione mi risulta pari a $ 5x+3y+10z-29=0 $
Risposte
Non controllo i conti. Prova a controllare se i punti dati dal problema soddisfano effettivamente l'equazione che hai ricavato.
"Seneca":
Non controllo i conti. Prova a controllare se i punti dati dal problema soddisfano effettivamente l'equazione che hai ricavato.
come faccio la verifica?
Il procedimento è giusto, in pratica imponendo il determinante a zero imponi che i 3 vettori sono combinazione lineare e che quindi sono complanari.
Potevi anche risolvere il problema di 3 equazioni in 3 incognite al piano generico ax+by+cz+d=0 imponendo le condizioni di appartenenza per i 3 punti ma come fai tu si fa prima.
Inoltre prima dovresti verificare che i tre punti non sono allineati.
Hai fatto un errore di calcolo del determinante non ha tenuto conto del -1^3 nel calcolo del secondo complemento algebrico (devi aggiungere un segno meno).
Ti consiglio di farti furbo la prossima volta e sviluppare lungo la colonna dove c'è uno zero per il calcolo del determinante.
Ciao
Potevi anche risolvere il problema di 3 equazioni in 3 incognite al piano generico ax+by+cz+d=0 imponendo le condizioni di appartenenza per i 3 punti ma come fai tu si fa prima.
Inoltre prima dovresti verificare che i tre punti non sono allineati.
Hai fatto un errore di calcolo del determinante non ha tenuto conto del -1^3 nel calcolo del secondo complemento algebrico (devi aggiungere un segno meno).
Ti consiglio di farti furbo la prossima volta e sviluppare lungo la colonna dove c'è uno zero per il calcolo del determinante.
Ciao
"fibonacci1":
Il procedimento è giusto, in pratica imponendo il determinante a zero imponi che i 3 vettori sono combinazione lineare e che quindi sono complanari.
Potevi anche risolvere il problema di 3 equazioni in 3 incognite al piano generico ax+by+cz+d=0 imponendo le condizioni di appartenenza per i 3 punti ma come fai tu si fa prima.
Inoltre prima dovresti verificare che i tre punti non sono allineati.
Hai fatto un errore di calcolo del determinante non ha tenuto conto del -1^3 nel calcolo del secondo complemento algebrico (devi aggiungere un segno meno).
Ti consiglio di farti furbo la prossima volta e sviluppare lungo la colonna dove c'è uno zero per il calcolo del determinante.
Ciao
Si prima ho verificato che i punti non fossero allineati.... non capisco quale -1 non ho considerato nel calcolo del determinate... nel secondo complemento algebrico ... io ho fatto (-2*1)-(1*1)=-3
"Ypsilon":
[quote="fibonacci1"]Il procedimento è giusto, in pratica imponendo il determinante a zero imponi che i 3 vettori sono combinazione lineare e che quindi sono complanari.
Potevi anche risolvere il problema di 3 equazioni in 3 incognite al piano generico ax+by+cz+d=0 imponendo le condizioni di appartenenza per i 3 punti ma come fai tu si fa prima.
Inoltre prima dovresti verificare che i tre punti non sono allineati.
Hai fatto un errore di calcolo del determinante non ha tenuto conto del -1^3 nel calcolo del secondo complemento algebrico (devi aggiungere un segno meno).
Ti consiglio di farti furbo la prossima volta e sviluppare lungo la colonna dove c'è uno zero per il calcolo del determinante.
Ciao
Si prima ho verificato che i punti non fossero allineati.... non capisco quale -1 non ho considerato nel calcolo del determinate... nel secondo complemento algebrico ... io ho fatto (-2*1)-(1*1)=-3[/quote]
Viene 3y-6
Non hai considerato il (-1)^3=-1
Negli altri due complementi algebrici pure li devi considerare ma hai rispettivamente (-1)^2=1 e (-1)^4=1 e quindi sono ininfluenti (ma in generale non te li devi scordare)
"fibonacci1":
[quote="Ypsilon"][quote="fibonacci1"]Il procedimento è giusto, in pratica imponendo il determinante a zero imponi che i 3 vettori sono combinazione lineare e che quindi sono complanari.
Potevi anche risolvere il problema di 3 equazioni in 3 incognite al piano generico ax+by+cz+d=0 imponendo le condizioni di appartenenza per i 3 punti ma come fai tu si fa prima.
Inoltre prima dovresti verificare che i tre punti non sono allineati.
Hai fatto un errore di calcolo del determinante non ha tenuto conto del -1^3 nel calcolo del secondo complemento algebrico (devi aggiungere un segno meno).
Ti consiglio di farti furbo la prossima volta e sviluppare lungo la colonna dove c'è uno zero per il calcolo del determinante.
Ciao
Si prima ho verificato che i punti non fossero allineati.... non capisco quale -1 non ho considerato nel calcolo del determinate... nel secondo complemento algebrico ... io ho fatto (-2*1)-(1*1)=-3[/quote]
Viene 3y-6
Non hai considerato il (-1)^3=-1
Negli altri due complementi algebrici pure li devi considerare ma hai rispettivamente (-1)^2=1 e (-1)^4=1 e quindi sono ininfluenti (ma in generale non te li devi scordare)[/quote]
oddio non ci sono ...scusami.... provo a fare il determinante della matrice $ | ( x-1 , y-2 , z-3 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , -5 , 1 ) | $ ottengo y-2+10(z-3)-[(-5)(x-1)+(-2)(y-2)] = y-2+10z-30-(-5x+5-2y+4) = y-2+10z-30+5x-5+2y-4 = 5x+3y+10z-41=0 forse così è corretto?
L'equazione del piano che ottieni è corretta ma il procedimento che hai fatto non mi è chiaro:
Sostanzialmente il determinante sviluppato secondo la prima riga è:
{[(-1)^2][(x-1)(1+5)]} + {[(-1)^3][(y-2)(-2-1)]} + {[(-1)^4][(z-3)(10)]}
Sostanzialmente il determinante sviluppato secondo la prima riga è:
{[(-1)^2][(x-1)(1+5)]} + {[(-1)^3][(y-2)(-2-1)]} + {[(-1)^4][(z-3)(10)]}
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