Sollevamento di funzioni
Buona sera.
Stavo leggendo la dimostrazione dell'esistenza dei sollevamenti di cammini e omotopie sul libro di Kosniowski/Manetti e mi è venuto un dubbio su una possibile generalizzazione. Ricapitolo un'attimo la situazione:
sia \(X\) uno spazio topologico e sia \(p: E \to X\) un rivestimento, \(f: Y \to X\) una funzione continua dove \(Y\) è uno spazio metrico compatto e \(e \in E\), \(y \in Y\) con \(p(e) = f(y)\), si vuole dimostrare che esiste una funzione continua \(\tilde{f}: Y \to E\) tale che \(p \tilde{f} = f\).
Quello che i due autori fanno è dire che gli aperti banalizzanti ricoprono \(X\), dunque per il lemma del numero di Lebegue esiste un \(\delta > 0\) per cui \(f(B_{\delta}(x_k))\) è completamente contenuto in uno degli aperti \(V_k\), con le varie bolle di centri \(x_1, \ldots, x_n\) che ricoprono \(Y\).
Supponendo wlog \(p(e) \in V_1\) esiste un unico aperto \(U_1\) di \(E\) contenente \(e\) per cui la restrizione di \(p\) a tale insieme è un omeomorfismo su \(V_1\), e possiamo comporre l'inversa di \(p\) con \(f\) per definire \(\tilde{f}\) su \(B_{\delta}(x_1)\).
Il problema ora è come continuare a definire \(\tilde{f}\) sulle altre bolle; in particolare l'intersezione di una bolla con l'unione di tutte le altre potrebbe essere sconnessa, il che mi fa dubitare del fatto che valga nel caso generale.
Nel caso dei cammini si ha \(Y=[0, 1]\) e si suddivide tale intervallo in intervallini del tipo \([k/n, (k+1)/n]\) che si intersecano in singoli punti dunque si ripete esattamente il processo di prima. Nel caso delle omotopie mi sembra di capire si faccia un procedimento analogo suddividendo il quadrato in rettangoli(le cui intersezioni sono connesse e quindi contenute in unici \(U_{\alpha}\)).
La mia domanda quindi è se non si può sperare di dimostrare tale fatto nel caso più generale degli spazi metrici compatti.
Edit. Stavo pensando che il fatto delle intersezioni sconnesse forse non è un problema così grave(ho anche dimenticato di dire che \(Y\) è connesso, cosa che serve per l'unicità) dato che avviene la stessa cosa anche nei casi noti. La domanda a questo punto è se è possibile ricoprire un generico spazio metrico con 'ipercubi'(o qualcosa di simile) come abbiamo fatto con il segmento e il quadrato.
Stavo leggendo la dimostrazione dell'esistenza dei sollevamenti di cammini e omotopie sul libro di Kosniowski/Manetti e mi è venuto un dubbio su una possibile generalizzazione. Ricapitolo un'attimo la situazione:
sia \(X\) uno spazio topologico e sia \(p: E \to X\) un rivestimento, \(f: Y \to X\) una funzione continua dove \(Y\) è uno spazio metrico compatto e \(e \in E\), \(y \in Y\) con \(p(e) = f(y)\), si vuole dimostrare che esiste una funzione continua \(\tilde{f}: Y \to E\) tale che \(p \tilde{f} = f\).
Quello che i due autori fanno è dire che gli aperti banalizzanti ricoprono \(X\), dunque per il lemma del numero di Lebegue esiste un \(\delta > 0\) per cui \(f(B_{\delta}(x_k))\) è completamente contenuto in uno degli aperti \(V_k\), con le varie bolle di centri \(x_1, \ldots, x_n\) che ricoprono \(Y\).
Supponendo wlog \(p(e) \in V_1\) esiste un unico aperto \(U_1\) di \(E\) contenente \(e\) per cui la restrizione di \(p\) a tale insieme è un omeomorfismo su \(V_1\), e possiamo comporre l'inversa di \(p\) con \(f\) per definire \(\tilde{f}\) su \(B_{\delta}(x_1)\).
Il problema ora è come continuare a definire \(\tilde{f}\) sulle altre bolle; in particolare l'intersezione di una bolla con l'unione di tutte le altre potrebbe essere sconnessa, il che mi fa dubitare del fatto che valga nel caso generale.
Nel caso dei cammini si ha \(Y=[0, 1]\) e si suddivide tale intervallo in intervallini del tipo \([k/n, (k+1)/n]\) che si intersecano in singoli punti dunque si ripete esattamente il processo di prima. Nel caso delle omotopie mi sembra di capire si faccia un procedimento analogo suddividendo il quadrato in rettangoli(le cui intersezioni sono connesse e quindi contenute in unici \(U_{\alpha}\)).
La mia domanda quindi è se non si può sperare di dimostrare tale fatto nel caso più generale degli spazi metrici compatti.
Edit. Stavo pensando che il fatto delle intersezioni sconnesse forse non è un problema così grave(ho anche dimenticato di dire che \(Y\) è connesso, cosa che serve per l'unicità) dato che avviene la stessa cosa anche nei casi noti. La domanda a questo punto è se è possibile ricoprire un generico spazio metrico con 'ipercubi'(o qualcosa di simile) come abbiamo fatto con il segmento e il quadrato.
Risposte
"arradocolvaro":
La mia domanda quindi è se non si può sperare di dimostrare tale fatto nel caso più generale degli spazi metrici compatti.
Ottima domanda!
Risposta breve: sì. Segue risposta lunga
Una condizione equivalente ad esistenza ed unicità del sollevamento è che $Y$ sia connesso per archi[nota]si può richiedere anche una condizione leggermente più debole, come riporta il testo indicato più avanti[/nota] e localmente connesso per archi e che \[f_* (\pi_1(Y,y)) \subset p_*(\pi_1(E,e))\] dove \(f_*\) e \(p_*\) sono i morfismi di gruppi indotti da $f$ e $p$ passando ai gruppi fondamentali (i.e. le immagini di $f$ e $p$ tramite il funtore $\pi_1$). Dai un'occhiata ad Hatcher - Algebraic Topology § 1.3.
Se invece sei interessato all'esistenza di un sollevamento, senza necessariamente richiedere l'unicità, bastano condizioni molto più deboli. Se \(Y\) è un CW-complesso[nota]o più generalmente un complesso di celle, ma sentiti libero di ignorare questa precisazione se la definizione al momento ti sembra troppo tecnica[/nota] e $p$ è una fibrazione di Serre (nota che tutti i rivestimenti sono fibrazioni di Serre), allora il sollevamento esiste. (Ovviamente se $Y$ è connesso, $p$ è un rivestimento e non una fibrazione di Serre qualsiasi, e richiedi \(p(e) = f(y)\) hai di nuovo anche l'unicità.)
Nel caso tu non avessi mai visto le definizioni in questione, richiedere che uno spazio sia un CW-complesso è un ottimo modo per evitare patologie strane negli spazi topologici, e nel contesto giusto[nota]ovvero se sei interessato alla categoria d'omotopia degli spazi che si studia di solito in teoria dell'omotopia[/nota] non lede neanche la generalità (formalmente: ogni spazio topologico è legato ad un CW-complesso da un'equivalenza omotopica debole). Una fibrazione di Serre invece è nient'altro che l'opportuna generalizzazione un rivestimento nel "contesto giusto" di cui sopra.
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