Coseno tra due piani e retta paralella a l'intersezione di due piani

[Stanzi96]

L'esercizio mi chiede di trovare il coseno delle normali di due piani e la retta parallela all'intersezione dei due piani e passante per $P(1,0,0)$:

$ p_1 = 2x+y=1 $

$ p_2= x+y+z=0 $

Allora so che i due vettori direttori dei due piani sono rispettivamente $ p_1 rarr v(2,1,0) $ e $ p_2 rarr w(1,1,1) $
Calcolare il coseno dovrebbe essere semplice:

$ cos(hat(vw))=(u\cdot v)/(|| v|||| w|| )=3/sqrt(15) $

A questo punto calcolo l'equazione della retta, e so che i due piani sono incidenti (proprio con l'angolo sopra trovato), allora faccio il prodotto vettoriale dei paramateri direttori dei due piani, trovando il vettore direzionale della retta parallela a $ p_1nn p_2 $ e impongo il passaggio per il punto che mi è stato dato.

$ u xx w= det( ( a , b , c ),( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) = (1,-2,1) $

$ r: (1,0,0) +t(1,.2,1) $

è tutto corretto?

[Stanzi96]

Ok grazie mille! È che ancora non sono abituata al modo di scrittura dell'algebra lineare. Lo trovo diverso!
Posso chiedere qui se sono corretti altri due esercizi? Uno è un sistema con parametro e l'altro si tratta di trovare area del triangolo descritto da tre punti e la distanza da un quarto punto di un piano contenente i tre punti.