Determinare una base di nucleo ed immagine
Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo nel forum e volevo chiedervi la verifica di un esercizio di algebra lineare.
L'esercizio è il seguente:
Data l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^2$ tale che $f(x,y,z) = (x-2y, y-x)$, determinare una base di Ker f e una base di Im f e stabilire se f è iniettiva o suriettiva.
Riduco a gradini la matrice $[[1,-2,0],[-1,1,0]]$, sommando $a_2$ con $a_1$, ottenendo la matrice $[[1,-2,0],[0,-1,0]]$, che moltiplico per il vettore colonna ed imponendo il prodotto uguale a zero: $[[1,-2,0],[0,-1,0]] [[x],[y],[z]] = [[0],[0],[0]]$.
Le soluzioni del sistema ottenuto sono $\{(x-2y=0),(-y=0):}$ $\{(x=2y),(y=0):}$
Un vettore generico del nucleo è: $((0),(0),(z)) = z((0),(0),(1))$, quindi una base di ker è: $(0,0,1)$
$dim(Ker f)= 1$
Per trovare una base dell'immagine scrivo la matrice associata alla base canonica di $R^2$
$[[1,-1],[-2,1]]$
e la riduco a gradini $[[1,-1],[0,-2]]$
I vettori colonna linearmente indipendenti saranno una base dell'immagine, che risulta essere: $(1,0),(-1,-2)$.
$dim(Im f)= 2$
L'applicazione lineare non è iniettiva poiché $dim(Ker f) != 0$, è invece suriettiva perché $dim(Im f) = dim(R^2)$.
E' giusto lo svolgimento?
L'esercizio è il seguente:
Data l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^2$ tale che $f(x,y,z) = (x-2y, y-x)$, determinare una base di Ker f e una base di Im f e stabilire se f è iniettiva o suriettiva.
Riduco a gradini la matrice $[[1,-2,0],[-1,1,0]]$, sommando $a_2$ con $a_1$, ottenendo la matrice $[[1,-2,0],[0,-1,0]]$, che moltiplico per il vettore colonna ed imponendo il prodotto uguale a zero: $[[1,-2,0],[0,-1,0]] [[x],[y],[z]] = [[0],[0],[0]]$.
Le soluzioni del sistema ottenuto sono $\{(x-2y=0),(-y=0):}$ $\{(x=2y),(y=0):}$
Un vettore generico del nucleo è: $((0),(0),(z)) = z((0),(0),(1))$, quindi una base di ker è: $(0,0,1)$
$dim(Ker f)= 1$
Per trovare una base dell'immagine scrivo la matrice associata alla base canonica di $R^2$
$[[1,-1],[-2,1]]$
e la riduco a gradini $[[1,-1],[0,-2]]$
I vettori colonna linearmente indipendenti saranno una base dell'immagine, che risulta essere: $(1,0),(-1,-2)$.
$dim(Im f)= 2$
L'applicazione lineare non è iniettiva poiché $dim(Ker f) != 0$, è invece suriettiva perché $dim(Im f) = dim(R^2)$.
E' giusto lo svolgimento?
Risposte
è tutto corretto tranne un passaggio. i vettori che formano la base dell'immagine non sono quelli della matrice ridotta ma della matrice iniziale (della rappresentativa).
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