Determinare una Base del Nucleo di un'Applicazione Lineare

[escher576]

Ciao a tutti! Ho dei dubbi sul seguente esercizio:

Nello spazio $V = Mat(2,R)$ delle matrici reali quadrate di ordine 2 si consideri la base:

$ B = { ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) )} $
Sia $ F:Vrarr V $ l'operatore rappresentato rispetto alla base $B$ dalla matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( -2 , 0, 0 , 2 ) ) $

Determinare matrici che costituiscano una base di $ker(F)$

L'ho risolto come segue:
ho trasformato la matrice rappresentativa rispetto alla base $B$ nella matrice rappresentativa rispetto alla base canonica C:

$ C = { ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )} $

utilizzando la relazione: $A = text(M){::}_(\ \ C)^(B) A_B text(M){::}_(\ \ B)^(C)$
(dove $A$ è matrice rappresentativa rispetto alla base canonica)

$text(M){::}_(\ \ C)^(B)$ è la matrice che esprime il passaggio dalla base canonica $C$ alla base $B$ e si ottiene disponendo per colonna i vettori di $B$ (le cui coordinate sono implicitamente riferite a $C$)

$text(M){::}_(\ \ C)^(B) = ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $

e $text(M){::}_(\ \ B)^(C)$ è pari all'inversa di $text(M){::}_(\ \ C)^(B)$

$text(M){::}_(\ \ B)^(C) = (text(M){::}_(\ \ C)^(B))^(-1) = ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $

facendo tutti i calcoli ottengo:

$A = text(M){::}_(\ \ C)^(B) A_B text(M){::}_(\ \ B)^(C) = ((0 , 1 , 1 , -1 ),( -1 , 2 , 1 , 0 ),( -2 , 2 , 2 , 0 ),( -2, 2 , 0 , 2 ) ) $

da cui trovo la seguente base del nucleo:
${(1,0,1,1)}$
(l'ho scritto in $R^4$ anzichè in forma matriciale)

Ora mi chiedo: è il procedimento da seguire in questi casi o è una cosa del tutto ridondante fare questo cambio di base per trovare una base del $Ker$?

[anto_zoolander]

Scusa hai la matrice associata a $f$

$Ker(f)={X inM_(4,1)(K):AX=0}$

Ora $AX=0=>((1,0,0,-1),(1,1,0,0),(0,0,2,0),(-2,0,0,-2))((x),(y),(z),(t))=0$

Da cui ottieni il sistema ${(x-t=0),(x+y=0),(2z=0),(-2x+2t=0):}=>{(t=x),(y=-x),(z=0):}$

dunque $Ker(f)={((x),(-x),(0),(x))inM_(4,1)(K):x inK}$

da cui $B={((1),(-1),(0),(1))}={(1,-1,0,1)^T}$

[escher576]

Grazie per la risposta anto_zoolander; in effetti posso calcolare una base del Kernel nella maniera da te riportata e se mai volessi scrivere la base stessa riferita alla base canonica potrei utilizzare la seguente relazione:
$ text(M){::}_(\ \ C)^(B) ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $

infatti:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) = ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $

da cui $ B = { ( 1 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 1 )^T } $