Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti non riesco proprio a capire la dimostrazione che ha fatto il mio professore riguardo a tale
[size=110]Teorema: Sia $V$ un $mathbb(K)$-spazio vettoriale di dimensione finita e sia $\phi$ un prodotto scalare su $V$. Esiste un riferimento ortogonale di $V$ rispetto a $\phi$[/size]
Riporto la sua dimostrazione (spero di non avere preso appunti sbagliati xD). Mi è tutto abbastanza chiaro fino ...
Ciao a tutti, ho un altro dubbio su un esercizio. Stavolta però non so minimamente da dove cominciare.
L'esercizio in questione è questo:
Dato il vettore $v$ che congiunge l'origine $O$ con il punto $P = (0,1,2)$, determinare se esistono due vettori $w_1$ e $w_2$ tali che $w_1 != w_2$ e $v ^^ w_1 = v ^^ w_2$
Io ho calcolato come prima cosa il vettore $v = j + 2k$ e poi pensavo di fare i prodotti vettoriali assegnando delle ...
Salve a tutti , chi può darmi una mano a risolvere questo esercizio ?
Al variare del parametro reale "t" trovare una base del sottospazio $ <A_t,B,A_t,B> $ di M(2x2,R) dove $ A_t=( ( 3 , 2 ),( 2 , t ) ) $ , $ B=( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Scusate se scrivo qui ma non ho visto una sezione di geometria non universitaria.
I due lati consecutivi di un parallelogrammo misurano rispettivamente 12 cm e 9 cm; sapendo che l'altezza relativa al lato maggiore misura 6 cm, calcolate la misura dell'altezza relativa al lato minore.
Che procedimento devo seguire?
Inoltre:
1) Ho disegnato il parallelogrammo e viene una misura molto diversa dalla soluzione riportata sul libro.
2) Perché il libro disegna l'altezza del lato minore non ...
Non ho per niente le idee chiare per quanto riguarda il cambiamento di base di matrici. Quello che ho capito fin ora è questo:
- data un'applicazione lineare \(\displaystyle {T}\), chiamiamo \(\displaystyle {A_c}\) la matrice ad essa associata in base canonica. Se vogliamo scrivere \(\displaystyle {A_c}\) in un altra base \(\displaystyle {B}\) qualsiasi, ottenendo quindi \(\displaystyle {A_b}\), allora:
\(\displaystyle {A_b=B^{-1}*A_c*B}\)
- data un'applicazione lineare \(\displaystyle ...
Salve. Dati due vettori $u$, $v$, considerando il piano $\Pi$ da essi individuato e passante per l'origine di $R^3$, devo ritrovare un vettore $w$ tale che:
1. Giaccia su $\Pi$
2. L'angolo su $\Pi$ fra $u$ e $w$ sia noto e pari ad $\alpha$
3. L'angolo su $\Pi$ fra $v$ e $w$ sia noto e pari a $\beta$
Come fare?
Ciao a tutti
L'esercizio chiede di mostrare che l'insieme $ V^X = {f : X rarr V} $ delle funzioni da X nello spazio vettoriale V è anch'esso uno spazio vettoriale.
Il problema è che non saprei che tipo di risposta dare...cioè, so che valgono le operazioni di somma interna e prodotto per un reale definite "puntualmente" (punto per punto), il fatto è che non penso chieda una dimostrazione rigorosa dato che la consegna non dice "dimostra" ma appunto "mostra", quindi magari anche graficamente o ...
Ciao a tutti. Vorrei sottoporvi il seguente problema di geometria nella speranza che possiate aiutarmi.
Sono date le due rette r e r' di equazioni rispettivamente:
r: $ 3x-2y+1=0 $ $ z+1=0 $
r': $ x-y = 0 $ $ 2x-z+2 = 0 $
Trovare la retta s che sia incidente ed ortogonale ad entrambe le rette date.
Io, dopo aver constatato che le due rette sono sghembe, ho cercato di trovare la retta in questione, ma dati i numeri trovati ho la sensazione di aver sbagliato. Per ...
Buonasera a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio di algebra lineare ma ho dei dubbi riguardo alla soluzione, spero che mi possiate aiutare.
Il testo è il seguente:
Per quali $\lambda$,$\muinbbb{C}$, i vettori v1 = $((1),(0),(λ))$, v2 = $((i),(\mu),(-2i\mu))$, v3 = $((1),(i),(2))$ generano $bb{C^3}$ e
sono linearmente indipendenti?
Punto 1: I vettori v1, v2, v3 sono generatori di $bb{C^3}$:
scrivo la matrice dei coefficienti: [A] = $[[1,i,1],[0,\mu,i],[\lambda,-2i\mu,2]]$ e ...
Salve a tutti , volevo sapere come fare per scrivere una matrice 2x2 come un singolo vettore ... mi servirebbe per risolvere questo esercizio :
Al variare del parametro reale "t" trovare una base del sottospazio $ <A_t,B,A_t,B> $ di M(2x2,R) dove $ A_t=( ( 3 , 2 ),( 2 , t ) ) $ , $ B=( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Ho un sistema di questo tipo
$ { ( x + 3y = 0 ),( 3x-3y-2z = 0 ),( 4x + hz =0 ):} $
in cui devo descrivere le soluzioni al variare del parametro h.
Ho impostato la matrice $ ( ( 1 , 3 , 0 ),( 3 , -3 , -2 ),( 4 , 0 , h ) ) $ e ho dedotto, calcolando il determinante, che se $h!=-2$ il sistema ha un'unica soluzione in quanto l'inversa che si ottiene è unica; altrimenti, il testo afferma che se $h = 2$ il sistema ammette un sottospazio unidimensionale di soluzioni.
Il mio dubbio riguarda l'ultima affermazione e, in particolare: mi sta dicendo ...
Nel piano proiettivo dire "proiettività reale" e "affinità del piano" è la stessa cosa? Mi riferisco ad un isomorfismo del piano in sé che trasforma rette in rette. Quest'ultimo isomorfismo, nel piano affine, è un'affinità del piano, giusto?! Se quanto ho scritto è corretto allora con affinità del piano potrei riferirmi ad un isomorfismo sia nel piano proiettivo che in quello affine. Ma dubito che sia corretto. Spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo.
Ho studiato questo sistema lineare
${ ( ax+y+z=0 ),( ax+y-z=a+1 ),( x+ay+0=2-a ):}$
Che io risolvo in questo modo, applicando Rouché Capelli: ( A è la matrice incompleta, B la completa )
Il problema sta nel fatto che non riesco a dimostrare che per lambda=-1 (chiamata$ a$ per comodità nel testo ) in realtà il sistema verrebbe impossibile..
Grazie in anticipo!
Salve a tutti, su delle dispense ho trovato le seguenti relazioni matriciali che però non mi convincono e provando ad eseguire i conti effettivamente non tornano.
Siano $X,Y \in R^{n\times n}$ allora valgono le seguenti relazioni (supponendo l'invertibilità delle matrici coinvolte)
1) $Y(1 + YX)^{-1} = (1 + YX)^{-1}Y$
2) $Y^{-1}(1+XY^{-1})^{-1} = (Y+X)^{-1}$
Innanzitutto il primo dubbio nasce dal significato di quell'uno (dal contesto non è chiaro se sia la matrice quadrata di dimensione $n$ con tutti 1 o la matrice ...
Salve a tutti,
Non so come affrontare questo esercizio:
In $RR^4$ con il prodotto euclideo standard, sia $U in RR^4$ il sottospazio vettoriale di equazioni cartesiane $x-t=0=y-z$, sia $f: RR^4 to RR^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g:RR^4 to RR^4$ la proiezione ortogonale su $U$.
1. Calcolare nucleo e immagine di $f$ e $g$.
2. Determinare gli autospazi
3. Determinare $f(x,y,z,t)$ e ...
perché se applicando 'algoritmo di gauss ottengo una riga della matrice con tutti zero, significa che quella riga è combinazione lineare delle altre (soprastanti)?
INOLTRE devono esserci tutti 1 sulla diagonale della matrice ampliata o non ampliata?
Ciao,
ho questo quesito:
Determinare le equazioni parametriche della retta $ r $ passante per i punti $ A = (2, 3, 1) $ e $ B = (0, 0, 1) $ e della retta $ s $ passante per i punti $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (4, 6, 0) $.
Stabilire se $r$ e $s$ sono complanari.
Quello che mi interessa è la parte in grassetto, quello prima l'ho gia fatto.
Le eq. parametriche che ho ottenuto sono:
Retta ...
Sia $X$ spazio topologico e $A$ un suo sottospazio. Non riesco a trovare un controesempio del fatto che $\pi_1(X//A)=\frac{\pi_1(X)}{\pi_1(A)}$ non valga in generale
Un esercizio di un vecchio tema d'esame è il seguente. Non saprei come cominciare
Sia $ C^2 $ lo spazio vettoriale delle coppie ordinate di numeri complessi $ (alpha ,beta ) $ con $ alpha ,beta in C $ e U il sotto spazio delle coppie ordinate $ (alpha ,beta ) in C^2 $ tali che $ alpha +beta in R $. Calcolare la dimensione e una base di U.
Grazie a chi mi aiuterà!
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