Esistenza base ortogonale
Ciao a tutti non riesco proprio a capire la dimostrazione che ha fatto il mio professore riguardo a tale
Riporto la sua dimostrazione (spero di non avere preso appunti sbagliati xD). Mi è tutto abbastanza chiaro fino alla scritta in rosso
Dimostrazione:
Procediamo per induzione su $dim(V)=n$, essendo l'asserto banalmente vero se $dim(V)=1$ lo suppongo vero per $n-1$ e mostro che è vero anche per $n$. Sia $v_0\inV:v_0\ne0_v$. Suppongo di trovare $W<=V:\oplus^(\bot)W=V$. Per induzione esiste una base ortogonale $(v_1,...,v_(n-1))$ di $W$ ma allora $(v_0,v_1,...,v_(n-1))$ è una base ortogonale di $V$.
Ora dobbiamo dimostrare che la nostra supposizione sia vera, ossia devo dimostrare che se $v\inV$ allora esiste $W<=V:\oplus^(\bot)W=V$. Pìù in generale dimostreremo tale
Dimostrazione:
Sia $W<=V$, definisco $W^(\bot)={v\inV: \phi(v,w)=0 \forallw\inW}$ detto sottospazio ortogonale.
Sia $\phi$ non degenere e supponiamo $dim(W)=m$, di conseguenza si $(v_1,...,v_m)$ una base di $W$. Completo tale base ad una base di $V$ quindi ho $(v_1,...,v_m,v_(m+1),...,v_n))$.
Un vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$ appartiene a $W^(\bot)$ se e solo se $\phi(x,v_i)=0 \foralli\in{1,...,m}$ che equivale a dire che
Quindi posto $a_(k,i)=\phi(v_k,v_i) \foralli\in{1,...,m},\forallk\in{1,...,n}$ e detta $A$ la matrice
si ha che $x\inW^(\bot) \Leftrightarrow Ax=0$ ossia se e soluzione del sistema
Tale sistema è omogeneo, di $m$ equazioni in $n$ incognite e di rango $n$. Quindi le soluzioni di tale sistema formano un sottospazio di dimensione $n-m$. Quindi $dim(W^(\bot))=n-m$. Quindi se $W$ e $W^(\bot)$ sono in somma diretta essi formano effetivamente uno spazio vettoriale di dimensione $n$ (ossia $V$) e sono ortogonali.
Verifichiamo quindi che sono in somma diretta (ricorda che due sottospazi $S$ e $S'$ sono in somma diretta se e solo se $S\capS'={0_v}$):
ORA INIZIANO I MIEI DUBBI
Il professore a questo punti ci ha fatto notare con un esempio che se $\phi$ non è degenere in $V$ non è detto che non lo sia anche in ogni in ogni suo sottospazio. Ed ha scritto:
Sia $W<=V$ allora $W\capW^(\bot)=Rad(W)={0_v} \Leftrightarrow \phi(v,v)\ne0_v \forallv\inV$ ossia se $V$ non ha vettori isotropi. (perché?)
Quindi se ho ben capito la tesi non è vera per ogni sottospazio ma solo $\forallW<=V:Rad(W)\ne{0_v}$ giusto?
Inoltre il prof ha terminato scrivendo:
Nella dimostrazione si può assumere che $\phi$ sia non degenere perché posso scrivere $V=Rad(V)\oplus^(\bot)V'$ ove $V'<=V$ è un sottospazio in cui $\phi$ non è degenere. (e quindi?)
Scusate se è un po lunga ma ho preferito scrivere ogni dettaglio...
[size=110]Teorema: Sia $V$ un $mathbb(K)$-spazio vettoriale di dimensione finita e sia $\phi$ un prodotto scalare su $V$. Esiste un riferimento ortogonale di $V$ rispetto a $\phi$[/size]
Riporto la sua dimostrazione (spero di non avere preso appunti sbagliati xD). Mi è tutto abbastanza chiaro fino alla scritta in rosso
Dimostrazione:
Procediamo per induzione su $dim(V)=n$, essendo l'asserto banalmente vero se $dim(V)=1$ lo suppongo vero per $n-1$ e mostro che è vero anche per $n$. Sia $v_0\inV:v_0\ne0_v$. Suppongo di trovare $W<=V:
Ora dobbiamo dimostrare che la nostra supposizione sia vera, ossia devo dimostrare che se $v\inV$ allora esiste $W<=V:
[size=110]Lemma: Sia $V$ un $mathbb(K)$-spazio vettoriale di dimensione finita e sia $\phi$ un prodotto scalare su $V$. Se $W<=V$ allora esiste $W'<=V:W'\oplus^(\bot)W=V$[/size]
Dimostrazione:
Sia $W<=V$, definisco $W^(\bot)={v\inV: \phi(v,w)=0 \forallw\inW}$ detto sottospazio ortogonale.
Sia $\phi$ non degenere e supponiamo $dim(W)=m$, di conseguenza si $(v_1,...,v_m)$ una base di $W$. Completo tale base ad una base di $V$ quindi ho $(v_1,...,v_m,v_(m+1),...,v_n))$.
Un vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$ appartiene a $W^(\bot)$ se e solo se $\phi(x,v_i)=0 \foralli\in{1,...,m}$ che equivale a dire che
$x\inW^(\bot) \Leftrightarrow x_1\phi(v_1,v_i)+...+x_n\phi(v_n,v_i)=0 \foralli\in{1,...,m}$
Quindi posto $a_(k,i)=\phi(v_k,v_i) \foralli\in{1,...,m},\forallk\in{1,...,n}$ e detta $A$ la matrice
$((a_(1,1),...,a_(1,n)),(..., ,...),(a_(m,1),...,a_(m,n)))$
si ha che $x\inW^(\bot) \Leftrightarrow Ax=0$ ossia se e soluzione del sistema
$\{(a_(1,1)x_1+...+a_(1,n)x_n=0),(...),(a_(m,1)x_1+...+a_(m,n)x_n=0):}$
Tale sistema è omogeneo, di $m$ equazioni in $n$ incognite e di rango $n$. Quindi le soluzioni di tale sistema formano un sottospazio di dimensione $n-m$. Quindi $dim(W^(\bot))=n-m$. Quindi se $W$ e $W^(\bot)$ sono in somma diretta essi formano effetivamente uno spazio vettoriale di dimensione $n$ (ossia $V$) e sono ortogonali.
Verifichiamo quindi che sono in somma diretta (ricorda che due sottospazi $S$ e $S'$ sono in somma diretta se e solo se $S\capS'={0_v}$):
$W\capW^(\bot)={w\inW:\phi(w,w')=0 \forallw'\inW}=Rad(W)$
ORA INIZIANO I MIEI DUBBI
Il professore a questo punti ci ha fatto notare con un esempio che se $\phi$ non è degenere in $V$ non è detto che non lo sia anche in ogni in ogni suo sottospazio. Ed ha scritto:
Sia $W<=V$ allora $W\capW^(\bot)=Rad(W)={0_v} \Leftrightarrow \phi(v,v)\ne0_v \forallv\inV$ ossia se $V$ non ha vettori isotropi. (perché?)
Quindi se ho ben capito la tesi non è vera per ogni sottospazio ma solo $\forallW<=V:Rad(W)\ne{0_v}$ giusto?
Inoltre il prof ha terminato scrivendo:
Nella dimostrazione si può assumere che $\phi$ sia non degenere perché posso scrivere $V=Rad(V)\oplus^(\bot)V'$ ove $V'<=V$ è un sottospazio in cui $\phi$ non è degenere. (e quindi?)
Scusate se è un po lunga ma ho preferito scrivere ogni dettaglio...
Risposte
Ciao!
E' sbagliato, $W \nn W^(\bot) = {0_V}$ ti dice solo che la restrizione del prodotto scalare a $W$ è non degenere, ma questo non implica assolutamente che $(V, \phi)$ sia privo di vettori isotropi, cioè sia anisotropo. Per esempio considera il prodotto scalare indotto dalla matrice $( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$, osserva che $W = Span(e_1)$ e $W^(\bot) = Span(e_2, e_3)$, questi due spazi hanno intersezione banale eppure $\phi(e_3, e_3) = 0$.
Probabilmente l'asserto è: $W <= V$ allora $W \cap W^(\bot) = {0_v} iff \phi(v, v) != 0_v \forall v \in W$
Ecco alcune cose che potresti dimostrare per esercizio:
Sia $V$ un $\mathbb{K}-$ spazio($char\mathbb{K} != 2$), $\phi$ un prodotto scalare su $V$, allora:
1)$W <= V$, allora $dimW^\bot = dimV - dimW + dim(W \nn Rad\phi)$;
2)sia $W <= V$, $\phi$ ristretto a $W$ è non degenere $iff$ $V = W \oplus W^(\bot)$;
3)Se $\phi$ è non genere su $V$ allora $dimW^(\bot) = dimV - dimW$.
Inoltre se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, $(V, \phi)$ è anisotropo se e solo se $\phi$ è definito(cioè è definito positivo o negativo).
Il fatto che uno spazio reale dotato di prodotto scalare $\phi$ sia anisotropo ti dice non solo che $\phi$ è non degenere, ma anche che ogni restrizione di $\phi$ a un qualsiasi sottospazio lo è.
No, vale per ogni $W$.
In quale dimostrazione? Del lemma o del teorema?
Comunque l'esistenza di una base ortogonale non è difficile da dimostrare, l'osservazione principale è che se $v \in V$ è un vettore non isotropo allora $V = Span(v) \oplus^\bot Span(v)^\bot$, dopodiché si procede per induzione su $dimV$, fatto il passo base nel passo induttivo devi fare due casi: se ogni vettore di $V$ è isotropo allora... ; altrimenti esiste $v \in V$ non isotropo, quindi ... QED
"Freebulls":
Sia $ W<=V $ allora $ W\capW^(\bot)=Rad(W)={0_v} \Leftrightarrow \phi(v,v)\ne0_v \forallv\inV $ ossia se $ V $ non ha vettori isotropi. (perché?)
E' sbagliato, $W \nn W^(\bot) = {0_V}$ ti dice solo che la restrizione del prodotto scalare a $W$ è non degenere, ma questo non implica assolutamente che $(V, \phi)$ sia privo di vettori isotropi, cioè sia anisotropo. Per esempio considera il prodotto scalare indotto dalla matrice $( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$, osserva che $W = Span(e_1)$ e $W^(\bot) = Span(e_2, e_3)$, questi due spazi hanno intersezione banale eppure $\phi(e_3, e_3) = 0$.
Probabilmente l'asserto è: $W <= V$ allora $W \cap W^(\bot) = {0_v} iff \phi(v, v) != 0_v \forall v \in W$
Ecco alcune cose che potresti dimostrare per esercizio:
Sia $V$ un $\mathbb{K}-$ spazio($char\mathbb{K} != 2$), $\phi$ un prodotto scalare su $V$, allora:
1)$W <= V$, allora $dimW^\bot = dimV - dimW + dim(W \nn Rad\phi)$;
2)sia $W <= V$, $\phi$ ristretto a $W$ è non degenere $iff$ $V = W \oplus W^(\bot)$;
3)Se $\phi$ è non genere su $V$ allora $dimW^(\bot) = dimV - dimW$.
Inoltre se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, $(V, \phi)$ è anisotropo se e solo se $\phi$ è definito(cioè è definito positivo o negativo).
Il fatto che uno spazio reale dotato di prodotto scalare $\phi$ sia anisotropo ti dice non solo che $\phi$ è non degenere, ma anche che ogni restrizione di $\phi$ a un qualsiasi sottospazio lo è.
Quindi se ho ben capito la tesi non è vera per ogni sottospazio ma solo $ \forallW<=V:Rad(W)\ne{0_v} $ giusto?
No, vale per ogni $W$.
Inoltre il prof ha terminato scrivendo:
Nella dimostrazione si può assumere che $ \phi $ sia non degenere perché posso scrivere $ V=Rad(V)\oplus^(\bot)V' $ ove $ V'<=V $ è un sottospazio in cui $ \phi $ non è degenere. (e quindi?)
In quale dimostrazione? Del lemma o del teorema?
Comunque l'esistenza di una base ortogonale non è difficile da dimostrare, l'osservazione principale è che se $v \in V$ è un vettore non isotropo allora $V = Span(v) \oplus^\bot Span(v)^\bot$, dopodiché si procede per induzione su $dimV$, fatto il passo base nel passo induttivo devi fare due casi: se ogni vettore di $V$ è isotropo allora... ; altrimenti esiste $v \in V$ non isotropo, quindi ... QED
"Shocker":
E' sbagliato, $W \nn W^(\bot) = {0_V}$ ti dice solo che la restrizione del prodotto scalare a $W$ è non degenere, ma questo non implica assolutamente che $(V, \phi)$ sia privo di vettori isotropi, cioè sia anisotropo.
Esatto infatti è quello che pensavo anche io...
"Shocker":
Per esempio considera il prodotto scalare indotto dalla matrice $( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$, osserva che $W = Span(e_1)$ e $W^(\bot) = Span(e_2, e_3)$, questi due spazi hanno intersezione banale eppure $\phi(e_3, e_3) = 0$.
Probabilmente l'asserto è: $W <= V$ allora $W \cap W^(\bot) = {0_v} iff \phi(v, v) != 0_v \forall v \in W$
Questo è proprio l'esempio che ci ha fatto il prof
"Shocker":
Ecco alcune cose che potresti dimostrare per esercizio:
Sia $V$ un $\mathbb{K}-$ spazio($char\mathbb{K} != 2$), $\phi$ un prodotto scalare su $V$, allora:
1)$W <= V$, allora $dimW^\bot = dimV - dimW + dim(W \nn Rad\phi)$;
2)sia $W <= V$, $\phi$ ristretto a $W$ è non degenere $iff$ $V = W \oplus W^(\bot)$;
3)Se $\phi$ è non genere su $V$ allora $dimW^(\bot) = dimV - dimW$.
Provo.
La 3) penso che l'abbia già dimostrata nella dimostrazione sopra no? (lì dove c'è il sistema diciamo)
"Shocker":
Inoltre se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, $(V, \phi)$ è anisotropo se e solo se $\phi$ è definito(cioè è definito positivo o negativo). Il fatto che uno spazio reale dotato di prodotto scalare $\phi$ sia anisotropo ti dice non solo che $\phi$ è non degenere, ma anche che ogni restrizione di $\phi$ a un qualsiasi sottospazio lo è.
Per ora non abbiamo parlato di prodotto scalare definito in questo corso (geom2). Anche se avevamo parlato di prodotto scalare definito positivo nel corso di geom1. Tuttavia mi interessa di più il caso generale per adesso... ho molto confusione in testa riguardo a questo prodotto scalare...
"Shocker":
No, vale per ogni $W$.
Ok ma non mi è ancora chiaro il perché. Cioè... se $Rad(W)={0_v}$ allora ok ma se è diverso non avrei che la somma è diretta o no?
"Shocker":
Inoltre il prof ha terminato scrivendo:
Nella dimostrazione si può assumere che $ \phi $ sia non degenere perché posso scrivere $ V=Rad(V)\oplus^(\bot)V' $ ove $ V'<=V $ è un sottospazio in cui $ \phi $ non è degenere. (e quindi?)
In quale dimostrazione? Del lemma o del teorema?
Non lo so
"Shocker":
Comunque l'esistenza di una base ortogonale non è difficile da dimostrare, l'osservazione principale è che se $v \in V$ è un vettore non isotropo allora $V = Span(v) \oplus^\bot Span(v)^\bot$, dopodiché si procede per induzione su $dimV$, fatto il passo base nel passo induttivo devi fare due casi: se ogni vettore di $V$ è isotropo allora... ; altrimenti esiste $v \in V$ non isotropo, quindi ... QED
Ok si infatti poi il professore dopo tutto quello che ho scritto ha fatto il caso se ogni vettore di $V$ è isotropo... però ho dimenticato di scriverlo xD
"Freebulls":
[quote="Shocker"]Ecco alcune cose che potresti dimostrare per esercizio:
Sia $V$ un $\mathbb{K}-$ spazio($char\mathbb{K} != 2$), $\phi$ un prodotto scalare su $V$, allora:
1)$W <= V$, allora $dimW^\bot = dimV - dimW + dim(W \nn Rad\phi)$;
2)sia $W <= V$, $\phi$ ristretto a $W$ è non degenere $iff$ $V = W \oplus W^(\bot)$;
3)Se $\phi$ è non genere su $V$ allora $dimW^(\bot) = dimV - dimW$.
Provo.
La 3) penso che l'abbia già dimostrata nella dimostrazione sopra no? (lì dove c'è il sistema diciamo)
[/quote]
Non capisco dove sfrutta che il prodotto scalare è non degenere, inoltre hai scritto che la matrice ha rango $n$, ma questo è falso, il rango è al più $m$(magari è un typo). Comunque l'idea è quella, risolvere un sistemino, provare che però sono in $W$ e l'ortogonale sono in somma diretta mi sembra un po' pretenzioso.
Per ora non abbiamo parlato di prodotto scalare definito in questo corso (geom2). Anche se avevamo parlato di prodotto scalare definito positivo nel corso di geom1. Tuttavia mi interessa di più il caso generale per adesso... ho molto confusione in testa riguardo a questo prodotto scalare...
Purtroppo l'esistenza di vettori isotropi dipende non solo dal prodotto scalare ma anche dal campo su cui è definito lo spazio vettoriale.
"Shocker":
No, vale per ogni $W$.
Ok ma non mi è ancora chiaro il perché. Cioè... se $Rad(W)={0_v}$ allora ok ma se è diverso non avrei che la somma è diretta o no?
Effettivamente ora che ci penso meglio il lemma così com'è scritto è falso, un controesempio è $V = \mathbb{R}^2$, $\phi$ indotto da $( (0, 1), (1, 0))$ e $W = \span(e_1)$.
Quindi direi di sì, sicuramente se $Rad(\phi_W) = {0_V}$ allora $V = W \oplus W^\bot$.
OK, allora se ho ben capito il lemma corretto sarebbe
Si intendevo rango $m$. Se fosse degenere allora penso esista una base di $V$ in cui la matrice associata a $\phi$ avrebbe almeno una riga nulla e quindi il rango di quel sistema non sarebbe $m$ ma sarebbe $m-($#vettori isotropi lin indip$)$... ovviamente è da formalizzare... cosa che ancora non sono molto bravo a fare però ci proverò domani
[size=110]Lemma: Sia $V$ un $mathbb(K)$-spazio vettoriale di dimensione finita e sia $\phi$ un prodotto scalare su $V$. Se $W<=V:Rad(W)={0_v}$ allora esiste $W'<=V:W'\oplus^(\bot)W=V$[/size]
"Shocker":
Non capisco dove sfrutta che il prodotto scalare è non degenere, inoltre hai scritto che la matrice ha rango n, ma questo è falso, il rango è al più m(magari è un typo). Comunque l'idea è quella, risolvere un sistemino, provare che però sono in W e l'ortogonale sono in somma diretta mi sembra un po' pretenzioso
Si intendevo rango $m$. Se fosse degenere allora penso esista una base di $V$ in cui la matrice associata a $\phi$ avrebbe almeno una riga nulla e quindi il rango di quel sistema non sarebbe $m$ ma sarebbe $m-($#vettori isotropi lin indip$)$... ovviamente è da formalizzare... cosa che ancora non sono molto bravo a fare però ci proverò domani
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