Somma diretta di sottospazi
L'esercizio mi chiede di verificare che due sottospazi costituiscono una decomposizione in somma diretta di $R^4$. I sottospazi sono $U= <(1,0,0,0),(0,1,0,0)>$ e W di equazioni cartesiane $2x_1+x_3=0$ e $x_2-3x_4$.
Questi sottospazi non mi sembrano costituire una somma diretta. Ad esempio, i vettori $(0,0,1,0), (0,0,0,1)$ dovrebbero costituire una base di W, giusto? Ma non appartengono a W. Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Questi sottospazi non mi sembrano costituire una somma diretta. Ad esempio, i vettori $(0,0,1,0), (0,0,0,1)$ dovrebbero costituire una base di W, giusto? Ma non appartengono a W. Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Risposte
Se non erro il sottospazio $W$ definisce la base $((1),(0),(0),(-2)),((0),(1),(3),(0))$.
Per provare che sono in somma devi mostrare:
-intersezione che coincide col vettore nullo.
-la loro unione genera $RR^4$.
Per l'intersezione basta prendere un generico vettore $w$ e scriverlo come combinazione linaere, prima dei vettori della base di $U$ e poi della base di $W$. A questo punto le uguagli e trovi i coefficienti. Se l'unico vettore è quello nullo, allora $dim(U \cap W)=0$. Per la formula di GrassMann hai che allora $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)$.
Alternativamente puoi trovare $dim(U+W)$, e sfruttare la formula di GrassMann per vedere se $dim(U \cap W)=0$
Vedi qui e qui
Per provare che sono in somma devi mostrare:
-intersezione che coincide col vettore nullo.
-la loro unione genera $RR^4$.
Per l'intersezione basta prendere un generico vettore $w$ e scriverlo come combinazione linaere, prima dei vettori della base di $U$ e poi della base di $W$. A questo punto le uguagli e trovi i coefficienti. Se l'unico vettore è quello nullo, allora $dim(U \cap W)=0$. Per la formula di GrassMann hai che allora $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)$.
Alternativamente puoi trovare $dim(U+W)$, e sfruttare la formula di GrassMann per vedere se $dim(U \cap W)=0$
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