Dubbi su delle relazioni con le matrici
Salve a tutti, su delle dispense ho trovato le seguenti relazioni matriciali che però non mi convincono e provando ad eseguire i conti effettivamente non tornano.
Siano $X,Y \in R^{n\times n}$ allora valgono le seguenti relazioni (supponendo l'invertibilità delle matrici coinvolte)
1) $Y(1 + YX)^{-1} = (1 + YX)^{-1}Y$
2) $Y^{-1}(1+XY^{-1})^{-1} = (Y+X)^{-1}$
Innanzitutto il primo dubbio nasce dal significato di quell'uno (dal contesto non è chiaro se sia la matrice quadrata di dimensione $n$ con tutti 1 o la matrice identità, ma in entrambi i casi i conti non tornano).
Come detto in precedenza, ho provato numericamente e i conti non tornano. Quali sarebbero le relazioni giuste?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Siano $X,Y \in R^{n\times n}$ allora valgono le seguenti relazioni (supponendo l'invertibilità delle matrici coinvolte)
1) $Y(1 + YX)^{-1} = (1 + YX)^{-1}Y$
2) $Y^{-1}(1+XY^{-1})^{-1} = (Y+X)^{-1}$
Innanzitutto il primo dubbio nasce dal significato di quell'uno (dal contesto non è chiaro se sia la matrice quadrata di dimensione $n$ con tutti 1 o la matrice identità, ma in entrambi i casi i conti non tornano).
Come detto in precedenza, ho provato numericamente e i conti non tornano. Quali sarebbero le relazioni giuste?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
Ciao, $1$ indica la matrice identità. La seconda relazione è giusta, segue facilmente da $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Quanto alla prima, anche a me non torna, probabilmente si intendeva dire
[tex]Y(1+XY)^{-1} = (1+YX)^{-1}Y[/tex]
che si dimostra usando la stessa idea.
Se hai ulteriori dubbi ti consiglio di provare a postare un'immagine scannerizzata delle dispense o fornire un link alle dispense.
[tex]Y(1+XY)^{-1} = (1+YX)^{-1}Y[/tex]
che si dimostra usando la stessa idea.
Se hai ulteriori dubbi ti consiglio di provare a postare un'immagine scannerizzata delle dispense o fornire un link alle dispense.
Ciao! Ti ringrazio per la correzione che ho controllato numericamente e ora torna tutto.
Ora dovrei dimostrarle provo a buttare giù qualche riga e poi se ho problemi risponderò.
Per quanto riguarda le dispense non c'è molto da pubblicare. Riassumo il contesto qui.
Queste relazioni vengono fuori come suggerimento per ottenere la sequenza di ricorsione di Riccati per un problema LQR applicato in ambito finanziario, non sono propriamente dispende di geometria o algebra lineare ma visto che l'argomento nel particolare rientrava in questa sezione ho inserito il post qui.
Se hai bisogno scrivo qualcosa più nel particolare. Grazie ancora!
Ora dovrei dimostrarle provo a buttare giù qualche riga e poi se ho problemi risponderò.
Per quanto riguarda le dispense non c'è molto da pubblicare. Riassumo il contesto qui.
Queste relazioni vengono fuori come suggerimento per ottenere la sequenza di ricorsione di Riccati per un problema LQR applicato in ambito finanziario, non sono propriamente dispende di geometria o algebra lineare ma visto che l'argomento nel particolare rientrava in questa sezione ho inserito il post qui.
Se hai bisogno scrivo qualcosa più nel particolare. Grazie ancora!
Ho dimostrato le proprietà precedenti e riporto tali dimostrazioni qui di seguito nel caso dovesse servire a qualcuno in futuro (ovviamente se ci sono dei passaggi sbagliati correggetemi pure)
Dimostro prima la seconda proprietà cioè:
$Y^{-1}(I+XY^{-1})^{-1} = (Y + X)^{-1}$
Infatti
$
(Y+X)^{-1} = ((Y+X)Y^{-1}Y)^{-1} = (Y+XY^{-1}Y)^{-1} = ((I+XY^{-1})Y)^{-1} = Y^{-1}(I+XY^{-1})^{-1}
$
Ora la seconda proprietà cioè:
$Y(I+XY)^{-1} = (I+YX)^{-1}Y^{-1}$
infatti applicando la proprietà dimostrata in precedenza al membro di sinistra otteniamo
$
Y(I+XY)^{-1} = (Y^{-1} + X)^{-1} = (Y^{-1}Y(Y^{-1} + X))^{-1} = (Y^{-1}(I+YX))^{-1} = (I+YX)^{-1}Y
$
Se non ci sono errori credo che l'argomento possa essere chiuso e segnalato come risolto.
Grazie!
Dimostro prima la seconda proprietà cioè:
$Y^{-1}(I+XY^{-1})^{-1} = (Y + X)^{-1}$
Infatti
$
(Y+X)^{-1} = ((Y+X)Y^{-1}Y)^{-1} = (Y+XY^{-1}Y)^{-1} = ((I+XY^{-1})Y)^{-1} = Y^{-1}(I+XY^{-1})^{-1}
$
Ora la seconda proprietà cioè:
$Y(I+XY)^{-1} = (I+YX)^{-1}Y^{-1}$
infatti applicando la proprietà dimostrata in precedenza al membro di sinistra otteniamo
$
Y(I+XY)^{-1} = (Y^{-1} + X)^{-1} = (Y^{-1}Y(Y^{-1} + X))^{-1} = (Y^{-1}(I+YX))^{-1} = (I+YX)^{-1}Y
$
Se non ci sono errori credo che l'argomento possa essere chiuso e segnalato come risolto.
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo