Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

[Samy211]

Salve a tutti,

Non so come affrontare questo esercizio:
In $RR^4$ con il prodotto euclideo standard, sia $U in RR^4$ il sottospazio vettoriale di equazioni cartesiane $x-t=0=y-z$, sia $f: RR^4 to RR^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g:RR^4 to RR^4$ la proiezione ortogonale su $U$.
1. Calcolare nucleo e immagine di $f$ e $g$.
2. Determinare gli autospazi
3. Determinare $f(x,y,z,t)$ e $g(x,y,z,t)$

Sinceramente non ho ben capito come calcolare la matrice associata ad U, i possibili elementi della base che posso ricavare dalle equazioni cartesiane sono $(1,0,0,1),(0,1,1,0)$. Dovrei cercare una base ortonormale per poter calcolare la riflessione e la proiezione?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda $g$, rispetto alla base naturale:

$((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2))((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2))+((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))((0,sqrt2/2,sqrt2/2,0))=$

$=((1/2,0,0,1/2),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(1/2,0,0,1/2))+((0,0,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,0,0))=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))$

I suoi autospazi sono $U$ di autovalore $1$ ($U$ è anche l'immagine di $g$) e $U^\bot$ di autovalore $0$ ($U^\bot$ è anche il nucleo di $g$). Per quanto riguarda $f$, avendo già determinato $U^\bot$, basta comprendere come agisce la riflessione sui vettori appartenenti, rispettivamente, a $U$ e a $U^\bot$:

$f((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2))=((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2)) ^^ f((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))=((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))$

$f((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0))=-((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0)) ^^ f((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))=-((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))$

A questo punto, dovresti avere tutti gli strumenti per provare a concludere.

[Samy211]

Grazie per la risposta.

Ho capito che dalla base ortogonale che avevo scritto nel mio post iniziale, ti sei calcolato la base ortonormale dividendo per la norma.

Se non ho capito male, quando devo calcolare la proiezione ortogonale devo praticamente cercare il complemento ortogonale?
Studiando gli appunti della mia collega, vedo indicato che se chiamo P la matrice associata alla proiezione ortogonale, la matrice R associata alla riflessione si trova dalla formula $R=2P-I$.
In questo caso quindi sarebbe $R=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$. Giusto?

[anonymous_0b37e9]

Il modo più immediato per determinare $g$ rispetto alla base naturale è quello che ti ho proposto nel primo messaggio, dovendo soltanto normalizzare i due vettori ortogonali della consegna e non essendo necessario determinare esplicitamente $U^\bot$:

$((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2))((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2))+((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))((0,sqrt2/2,sqrt2/2,0))=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))$

Tuttavia, si può anche procedere determinando una base ortonormale completa mediante i seguenti due vettori ortonormali appartenenti a $U^\bot$:

$((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0)) ^^ ((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))$

e ricordando che, per definizione:

$g((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2))=((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2)) ^^ g((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))=((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0)) ^^ g((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0))=((0),(0),(0),(0)) ^^ g((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))=((0),(0),(0),(0))$

Così, rispetto alla base ortonormale di cui sopra:

$g=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$

mentre, rispetto alla base naturale, mediante un cambiamento di base $B^(-1)=B^t=B$:

$g=((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2),(0,sqrt2/2,sqrt2/2,0),(0,sqrt2/2,-sqrt2/2,0),(sqrt2/2,0,0,-sqrt2/2))((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2),(0,sqrt2/2,sqrt2/2,0),(0,sqrt2/2,-sqrt2/2,0),(sqrt2/2,0,0,-sqrt2/2))^(-1)=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))$

Per quanto riguarda $f$, ricordando che, per definizione:

$f((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2))=((sqrt2/2),(0),(0),(sqrt2/2)) ^^ f((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))=((0),(sqrt2/2),(sqrt2/2),(0))$

$f((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0))=-((0),(sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0)) ^^ f((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))=-((sqrt2/2),(0),(0),(-sqrt2/2))$

rispetto alla base ortonormale di cui sopra:

$f=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))$

mentre, rispetto alla base naturale:

$f=((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2),(0,sqrt2/2,sqrt2/2,0),(0,sqrt2/2,-sqrt2/2,0),(sqrt2/2,0,0,-sqrt2/2))((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))((sqrt2/2,0,0,sqrt2/2),(0,sqrt2/2,sqrt2/2,0),(0,sqrt2/2,-sqrt2/2,0),(sqrt2/2,0,0,-sqrt2/2))^(-1)=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

Ad ogni modo, mediante la formula $[f=2g-Id]$ è senz'altro più immediato.

[Samy211]

Grazie per la risposta esaustiva.

Dopo aver trovato le due matrici, P per la proiezione ortogonale $g$ e R per la riflessione $f$, rispettivamente

$P=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))$

$R=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

posso procedere nella risposta ai 3 quesiti chiesti nel compito, ossia
1. Calcolare nucleo e immagine di $f$ e $g$.
In questo primo caso sarei tentata a calcolare il rango della matrice P per poter capire la dimensione dell'immagine, ma essendo due colonne uguali tra loro mi viene da concludere che il rango della matrice P è 2. Per il teorema delle dimensioni, sapendo che $dim(P)=4$ e $dim(Img)=2$ deduco che il nucleo ha dimensione 2 e per calcolarlo dovrei ridurre per righe la matrice P e risolvere il sistema $Px=0$. Giusto?
Stesso ragionamento poi per R.

2. Determinare gli autospazi
In questo caso dovrei calcolare prima gli autovalori e poi da quelli calcolare gli autovettori associati e quindi gli autospazi.

3. Determinare $f(x,y,z,t)$ e $g(x,y,z,t)$
In questo caso non saprei come muovermi.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la terza domanda, devi semplicemente esprimere le due trasformazioni lineari, per esempio, in rappresentazione matriciale:

$g: ((x_1),(y_1),(z_1),(t_1))=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))((x),(y),(z),(t))$

$f: ((x_1),(y_1),(z_1),(t_1))=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))((x),(y),(z),(t))$

Per quanto riguarda le prime due, come in parte scritto nel mio primo messaggio:

Gli autospazi di $g$ sono $U$ di autovalore $1$ ($U$ è anche l'immagine di $g$) e $U^\bot$ di autovalore $0$ ($U^\bot$ è anche il nucleo di $g$).

Gli autospazi di $f$ sono $U$ di autovalore $1$ e $U^\bot$ di autovalore $-1$. Inoltre, mentre il suo nucleo è il vettore nullo, la sua immagine è $RR^4$.

Insomma, non credo sia necessario ricavare le informazioni richieste ex novo, soprattutto se si è risolto l'esercizio facendo esplicito riferimento agli autovettori, come nei miei due messaggi precedenti.

[Samy211]

"anonymous_0b37e9":Per quanto riguarda la terza domanda, devi semplicemente esprimere le due trasformazioni lineari, per esempio, in rappresentazione matriciale:

$ g: ((x_1),(y_1),(z_1),(t_1))=((1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2))((x),(y),(z),(t)) $

$ f: ((x_1),(y_1),(z_1),(t_1))=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))((x),(y),(z),(t)) $

Quindi in questo modo avrei già risposto alla domanda?

Ho capito il tuo discorso relativo al nucleo e all'immagine perchè in entrambi i casi dobbiamo considerare il fatto che queste trasformazioni sono rigide, cioè che sono delle isometrie. Non ho ben capito come sei arrivato a dire che hanno quegli autospazi Evidentemente devo ancora studiarmi bene tutte queste cose sugli isomorfismi.

In ogni caso mi sono voluta cimentare su un altro esercizio di questo tipo

In $RR^4$ con il prodotto euclideo standard sia $U=L((1,-1,1,-1)) in RR^4$. Sia $f:RR^4 to RR^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g:RR^4 to RR^4$ e sia $g:RR^4 to RR^4$ la proiezione ortogonale su $U$.

Dalla base che mi viene già data dall'esecizio mi calcolo la rispettiva base ortonormale, cioè semplicemente divido il vettore v per la sua norma. Ottengo, *me scema, non ho considerato che $sqrt(4)=2$ e mi sono complicata la vita* $(sqrt(4)/4,-sqrt(4)/4,sqrt(4)/4,-sqrt(4)/4)$ e m calcolo la matrice P associata a $g$ proiezione ortogonale $P=((1/4,-1/4,1/4,-1/4),(-1/4,1/4,-1/4,1/4),(1/4,-1/4,1/4,-1/4),(-1/4,1/4,-1/4,1/4))$ e invece $R=((-1/2,-1/2,1/2,-1/2),(-1/2,-1/2,-1/2,1/2),(1/2,-1/2,-1/2,-1/2),(-1/2,1/2,-1/2,-1/2))$

a) Calcolare nucleo e immagine di f e g.
Riguardo $f$ posso dire che $Ker(f)=0$ e $Img(f)=RR^4$, mentre di $g$ ottengo, dalla definizione di proiezione ortogonale, $Ker(g)=U^\bot$ e $Img(g)=U$.

b) Determinare gli autospazi di $f$ e $g$ e loro basi ortonormali.


c) Determinare $g(x,y,z,t)$.
In questo caso sarebbe $((1/4,-1/4,1/4,-1/4),(-1/4,1/4,-1/4,1/4),(1/4,-1/4,1/4,-1/4),(-1/4,1/4,-1/4,1/4)) ((x),(y),(z),(t))$

Giusto?

[anonymous_0b37e9]

"Samy21":
Quindi in questo modo avrei già risposto alla domanda?

Certamente.

"Samy21":
In ogni caso mi sono voluta cimentare su un altro esercizio di questo tipo ...

Come hai determinato la matrice $P$ che rappresenta la proiezione ortogonale su $U$ rispetto alla base naturale?

[Samy211]

"anonymous_0b37e9":
Come hai determinato la matrice $P$ che rappresenta la proiezione ortogonale su $U$ rispetto alla base naturale?

Ho considerato il vettore $v=(1,-1,1,-1)$, ne ho calcolato la norma e l'ho normalizzato.
Ho così ottenuto $v'=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)$ ed ho calcolato

$((1/2),(-1/2),(1/2),(-1/2))$ $(1/2,-1/2,1/2,-1/2)$ e così ottengo la matrice P.

[anonymous_0b37e9]

Ok, come ti avevo proposto nel primo messaggio. Sei sicura che questo metodo faccia parte del programma? Insomma, sei sicura di poterlo utilizzare?

[Samy211]

Credo di si, purtroppo non ho seguito le lezioni e non so come lui li risolva... Grazie mille per la disponibilità.
Spero di chiarire il dubbio sugli autovalori e cosi dovrei essere a posto (almeno spero).

[anonymous_0b37e9]

A mio parere, dopo aver determinato la proiezione e la riflessione nel modo più immediato (la proiezione come sopra, la riflessione mediante la formula $[f=2g-Id]$), puoi determinare una base ortonormale dell'intero spazio vettoriale a partire dai vettori della consegna. Quindi, determinare il nucleo, l'immagine, gli autovalori e gli autovettori come ti ho suggerito in un precedente messaggio:

Gli autospazi di $g$ sono $U$ di autovalore $1$ ($U$ è anche l'immagine di $g$) e $U^\bot$ di autovalore $0$ ($U^\bot$ è anche il nucleo di $g$).

Gli autospazi di $f$ sono $U$ di autovalore $1$ e $U^\bot$ di autovalore $-1$. Inoltre, mentre il suo nucleo è il vettore nullo, la sua immagine è $RR^4$.

Viceversa, ti tocca farlo esplicitamente (immagino che tu sappia come), procedimento piuttosto inutile se si è compreso come agiscono le due trasformazioni.

[Samy211]

Si, gli autovalori calcolando le radici del polinomio caratteristico, gli autospazi invece risolvendo il sistema come se mi dovessi calcolare il nucleo.

Grazie mille!