Algoritmo di gauss
perché se applicando 'algoritmo di gauss ottengo una riga della matrice con tutti zero, significa che quella riga è combinazione lineare delle altre (soprastanti)?
INOLTRE devono esserci tutti 1 sulla diagonale della matrice ampliata o non ampliata?
INOLTRE devono esserci tutti 1 sulla diagonale della matrice ampliata o non ampliata?
Risposte
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cosa significa l'ultima riga? coefficienti??? che dovrei fare?
Prendi la prima equazione e la moltiplichi per $5/6$, prendi la seconda e la moltiplichi per $-11/6$, prendi la terza e la moltiplichi per $19/6$; sommi membro a membro queste tre ed otterrai la quarta.
Quindi sarebbe più corretto dire che la quarta equazione è uguale a una combinazione lineare della somma delle tre equazioni soprastanti. cioè $(3x−z−8)a+(2x−y+4z−10)b+(x+y+z−4)c=(2x+5y−5z−1)$
quindi per trovare i coefficienti a,b,c bisogna risolvere il sistema di 3 equazioni:
$9a+6b+3c=2$
$1a+4b+1c=-5$
$-8a-10b-4c=-1$
quindi per trovare i coefficienti a,b,c bisogna risolvere il sistema di 3 equazioni:
$9a+6b+3c=2$
$1a+4b+1c=-5$
$-8a-10b-4c=-1$
Cosa intendi per "sistema di 4 equazioni" ?
quello che ho scritto su, di 3, ho corretto
Hai detto giustamente che la quarta equazione è combinazione lineare della altre tre ovvero $ (3x−z)a+(2x−y+4z)b+(x+y+z)c=(2x+5y−5z) $
Sviluppiamo l'equazione e concentriamoci sui monomi contenenti la $x$; affinché sia vera deve essere $3x*a+2x*b+1x*c=2x$ e cioè semplificando la $x$, abbiamo $3a+2b+1c=2$. Facciamo lo stesso per la $y$ e la $z$ ed abbiamo queste due altre equazioni $0*a-1*b+1*c=5$ e $-1*a+4*b+1*c=-5$ ... queste sono le tre equazioni da risolvere per trovare $a, b, c$ che rendono la quarta una combinazione lineare delle prime tre.
Sviluppiamo l'equazione e concentriamoci sui monomi contenenti la $x$; affinché sia vera deve essere $3x*a+2x*b+1x*c=2x$ e cioè semplificando la $x$, abbiamo $3a+2b+1c=2$. Facciamo lo stesso per la $y$ e la $z$ ed abbiamo queste due altre equazioni $0*a-1*b+1*c=5$ e $-1*a+4*b+1*c=-5$ ... queste sono le tre equazioni da risolvere per trovare $a, b, c$ che rendono la quarta una combinazione lineare delle prime tre.
io non ho semplificato x,y e z e ho considerato i termini noti (non capisco perché non sia necessario considerarli). quindi verrebbero 4 equazioni
però y=0, perciò ne vengono 3.
però y=0, perciò ne vengono 3.
Non vanno considerati perché la quarta equazione deve essere combinazione della altre tre sempre, indipendentemente dai valori di $x, y, z$ e se introduci anche i termini noti l'uguaglianza l'avrai (se l'avrai) solo per particolari valori di $x, y, z$.
La semplificazione della $x$ è ovvia (basta raccoglierla ...), d'altra parte come detto la dipendenza o indipendenza lineare deve prescindere dai valori delle incognite ... se vuoi convincertene pensa al fatto che in algebra lineare si parte dai sistemi di equazioni (con incognite) ma la "sostanza" dell'argomento riguarda le matrici (e spazi vettoriali) dove le incognite NON ci sono ...
La semplificazione della $x$ è ovvia (basta raccoglierla ...), d'altra parte come detto la dipendenza o indipendenza lineare deve prescindere dai valori delle incognite ... se vuoi convincertene pensa al fatto che in algebra lineare si parte dai sistemi di equazioni (con incognite) ma la "sostanza" dell'argomento riguarda le matrici (e spazi vettoriali) dove le incognite NON ci sono ...
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Ma qui dice che nel caso la riga sia tutta nulla, tutta l'equazione dev'essere combinazione lineare
a me sembra che come fai tu verifico solo che il primo membro dell'equazione è combinazione lineare dei primi membri delle soprastanti
Non considerando i termini noti, capisco che si possano semplificare x, y, e z
e l'uguaglianza comunque non mi viene
Quello che dice è equivalente a quello che ho detto io (sotto altra forma): un conto è l'indipendenza lineare di vettori, un altro la risoluzione di un determinato sistema di equazioni; nel secondo caso DEVI tener conto anche dei termini noti perché è una situazione specifica non generica ...
Prova a rifare i conti perché a me viene la soluzione di quel sistema di tre equazioni e i valori di $a, b, c$ son proprio quelli citati ...
Prova a rifare i conti perché a me viene la soluzione di quel sistema di tre equazioni e i valori di $a, b, c$ son proprio quelli citati ...
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Come rovinarsi la vita sbagliando un segno ... 
$b=-11/6$ dato che $-30+19=-11$
P.S.: scusami ma avendo i risultati non ti è venuto il dubbio di aver sbagliato solo un segno? Una piccola ricontrollatina e trovavi l'errore ... a mio parere, eh ...
$b=-11/6$ dato che $-30+19=-11$
P.S.: scusami ma avendo i risultati non ti è venuto il dubbio di aver sbagliato solo un segno? Una piccola ricontrollatina e trovavi l'errore ... a mio parere, eh ...
Ma in questo caso posso considerare anche i termini noti? E se lo faccio devo necessariamente includere x,y e z, prendendo quelle che si trovano risolvendo il primo sistema
Non ho capito a quale caso ma se devi stabilire se tre vettori sono linearmente indipendenti (che equivale all'indipendenza delle tre equazioni) non ti interessano i termini noti perché l'indipendenza deve valere qualsiasi siano i valori di $x,y,z$
scusami, sono agli inizi e sto prolungando la domanda
mi chiedo:
dati questi 3 vettori lin indip e l'ultimo lin dip, qualsiasi x,y,z assegni al sistema, troverò dei termini noti che soddisfino ciascuno la sua equazione (e quindi dire che il quarto vettore è combinazione lineare dei primi tramite quei coefficienti equivale a dire che l'ultima equazione del sistema è combinazione lineare delle prime tre con quei coefficienti, che equivale a dire che se sottraggo dall'ultima equazione una combinazione lineare delle prime tre, ottengo pari a zero entrambi i suoi membri).
Però non è vero che dati questi 3 vettori lin indip e l'ultimo lin dip, se scrivo dei termini noti qualsiasi in ciascuna equazione del sistema, troverò una soluzione del sistema.
potrei trovare incompatibilità, cioè alla fine del procedimento di gauss troverei che il primo membro della quarta equazione è pari a zero e che il termine noto non lo è
cioè ho studiato che un sistema con un numero di incognite pari al numero di pivot ha una soluzione. Quindi se non ci fosse l’ultima riga, potrei assegnare a ciascuna equazione un qualsiasi termine noto, troverei sempre una soluzione del sistema (questo lo deduco dalle definizioni ma non mi è chiaro. Cioè mi pè chiaro se penso al sistema nella forma ridotta di gauss-jordan)
invece, essendoci l’ultima riga, dovrei assegnare a ciascun equazione dei termini noti tali che l’ultima colonna (quella dei termini noti) non sia un vettore linearmente indipendente (così il numero dei pivot non supera il numero delle incognite).
Comunque ho studiato queste cose non molto bene
mi chiedo:
dati questi 3 vettori lin indip e l'ultimo lin dip, qualsiasi x,y,z assegni al sistema, troverò dei termini noti che soddisfino ciascuno la sua equazione (e quindi dire che il quarto vettore è combinazione lineare dei primi tramite quei coefficienti equivale a dire che l'ultima equazione del sistema è combinazione lineare delle prime tre con quei coefficienti, che equivale a dire che se sottraggo dall'ultima equazione una combinazione lineare delle prime tre, ottengo pari a zero entrambi i suoi membri).
Però non è vero che dati questi 3 vettori lin indip e l'ultimo lin dip, se scrivo dei termini noti qualsiasi in ciascuna equazione del sistema, troverò una soluzione del sistema.
potrei trovare incompatibilità, cioè alla fine del procedimento di gauss troverei che il primo membro della quarta equazione è pari a zero e che il termine noto non lo è
cioè ho studiato che un sistema con un numero di incognite pari al numero di pivot ha una soluzione. Quindi se non ci fosse l’ultima riga, potrei assegnare a ciascuna equazione un qualsiasi termine noto, troverei sempre una soluzione del sistema (questo lo deduco dalle definizioni ma non mi è chiaro. Cioè mi pè chiaro se penso al sistema nella forma ridotta di gauss-jordan)
invece, essendoci l’ultima riga, dovrei assegnare a ciascun equazione dei termini noti tali che l’ultima colonna (quella dei termini noti) non sia un vettore linearmente indipendente (così il numero dei pivot non supera il numero delle incognite).
Comunque ho studiato queste cose non molto bene
mi conviene forse stud meglio prima di chiedere
Non mi è chiarissimo il tuo discorso comunque se hai tre equazioni (in tre incognite) linearmente indipendenti qualsiasi terna di termini noti tu abbia troverai sempre una soluzione (e unica).
Se aggiungi una quarta equazione, anche se questa è linearmente dipendente dalle altre tre affinché il sistema abbia soluzione allora anche il termine noto di quest'ultima deve essere "linearmente dipendente" degli altri tre (è un modo molto grossolano di esprimere il concetto ma spero sia comprensibile ...)
[ot]Io non sono un esperto e conosco solo qualche concetto di base comunque mi sento di consigliarti questo link dove puoi trovare sia un testo in pdf che online introduttivo all'algebra lineare che penso adatto a chi non è ancora esperto ...[/ot]
Cordialmente, Alex
Se aggiungi una quarta equazione, anche se questa è linearmente dipendente dalle altre tre affinché il sistema abbia soluzione allora anche il termine noto di quest'ultima deve essere "linearmente dipendente" degli altri tre (è un modo molto grossolano di esprimere il concetto ma spero sia comprensibile ...)
[ot]Io non sono un esperto e conosco solo qualche concetto di base comunque mi sento di consigliarti questo link dove puoi trovare sia un testo in pdf che online introduttivo all'algebra lineare che penso adatto a chi non è ancora esperto ...[/ot]
Cordialmente, Alex
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