Sul mezzo smash product

[killing_buddha]

Definisco una corrispondenza che mangia due spazi topologici puntati $(X,x_0),(A, a_0)$ e ne restituisce un terzo che si chiama "mezzo smash product":
\[
(X,A)\mapsto X\rtimes A = \frac{X\times A}{\{x_0\}\times A}
\]

1. Dimostrare che $\rtimes $ è associativo: $A\rtimes (B\rtimes C) \cong (A\rtimes B)\rtimes C$. E' anche commutativo ($A\rtimes B \cong B\rtimes A$)?
2. Come si descrive lo spazio $S^1\rtimes X$? E' vero che $S^1\rtimes X$ è un quoziente della sospensione $\Sigma X$ di $X$? Si può usare Van Kampen per descrivere $\pi_1(S^1\rtimes X)$ in termini di $\pi_1(X)$?

[killing_buddha]

Dai è facile

[dan952]

Sbaglio nel dire che $A ~~ A \rtimes B$?

Edit: Sì, sbaglio...prendiamo $A=[0,1]$ con $x_0=0$ e $B=S^{n-1}$

[killing_buddha]

Bisogna descrivere il mezzo smash come un quoziente di $\Sigma X$, e poi usare astutamente van Kampen è un esercizio relativamente facile, e ha un corollario piuttosto potente, cioè fabbrica spazi che hanno gli stessi gruppi di omotopia senza però essere omotopicamente equivalenti.

[dan952]

Io mi riferivo al primo punto...appena ho la mente libera ci penso.

Off-Topic: L'esercizio è relativamente facile perché è standard, ma bisogna comunque aver compreso i meccanismi di risoluzione che stanno dietro certe teorie...e più questi meccanismi ce l'hai dentro più è facile capire e meno ti serve studiare. Poi credo che la matematica più la studi meno la capisci.

[killing_buddha]

"dan95":Io mi riferivo al primo punto...appena ho la mente libera ci penso.

Il primo punto si può fare a mano oppure usando i teoremi di isomorfismo (per insiemi puntatI?).

Off-Topic: L'esercizio è relativamente facile perché è standard, ma bisogna comunque aver compreso i meccanismi di risoluzione che stanno dietro certe teorie...e più questi meccanismi ce l'hai dentro più è facile capire e meno ti serve studiare. Poi credo che la matematica più la studi meno la capisci.

Non ho capito bene rispetto a cosa è OT questo commento e cosa intendi dire E' davvero piuttosto facile, stai solo usando Van Kampen.

[dan952]

\begin{CD}
A \times B \times C @>p_1>> A \times (B \rtimes C) @>\pi_1>> A \rtimes (B \rtimes C)
\end{CD}
\begin{CD}
A \times B \times C @>p_2>> (A \rtimes B) \times C @>\pi_2>> (A \rtimes B) \rtimes C
\end{CD}

Poiché $f=\pi_1 @ p_1$ e $pr= \pi_2 @ p_2$ sono funzioni suriettive allora esiste unica la biiezione continua $g: (A \rtimes B) \rtimes C \mapsto Im(f)$

[killing_buddha]

Per invocare la proprietà universale dei quozienti va anche dimostrato che volta per volta la funzione che fai scendere al quoziente è costante sulle classi di equivalenza: che questo sia facile, d'accordo, ma

[dan952]

Lo spiego solo per $p_1$ e $\pi_1$. Sarebbe meglio scrivere $Id_A \times p_1$, quindi abbiamo che $p_1$ è costante nei punti $(b_0,c)$ con $c \in C$ ora essendo $p_1$ suriettiva chiaramente dove è costante lei è costante anche $\pi_1 @ (Id_A \times p_1)$ e $\pi_1$ è costante nei punti $(a_0, x)$ con $x \in B \rtimes C$.