Esercizio di topologia: trovare un atlante di una sfera che abbia solo due carte
L'esercizio è il seguente:
-Trovare un atlante della circonferenza unitaria avente solo due carte. $ S={(x,y) in RR^2 | sqrt(x^2+y^2)=1} $
-Dire se una sola carta sia possibile.
Intuitivamente sono partito dalle funzioni $ f^(+-)(x,y)=(x/(+-sqrt((x^2+y^2))),y/(+-sqrt((x^2+y^2)))) $ che mandano da $ RR^2/((0,0)) $ in $ S $ e sono continue. L'idea era quella di invertirle per trovare due mappe da S in R definite su due aperti costituenti il ricoprimento di S.
Cercavo il modo più semplice per formalizzare questa risposta e per rispondere al secondo punto.
-Trovare un atlante della circonferenza unitaria avente solo due carte. $ S={(x,y) in RR^2 | sqrt(x^2+y^2)=1} $
-Dire se una sola carta sia possibile.
Intuitivamente sono partito dalle funzioni $ f^(+-)(x,y)=(x/(+-sqrt((x^2+y^2))),y/(+-sqrt((x^2+y^2)))) $ che mandano da $ RR^2/((0,0)) $ in $ S $ e sono continue. L'idea era quella di invertirle per trovare due mappe da S in R definite su due aperti costituenti il ricoprimento di S.
Cercavo il modo più semplice per formalizzare questa risposta e per rispondere al secondo punto.
Risposte
La circonferenza è uno spazio di dimensione \(1\). Quindi partire da \(\mathbb{R}^2\) non è la scelta migliore. Nota inoltre che non lo è neanche usare la funzione tangente perché due carte non sarebbero abbastanza per ricoprire la circonferenza (ma si può usare una funzione simile oppure si può anche sfruttare la funzione esponenziale.
Per il secondo punto ti suggerisco di pensare alle proprietà topologiche dei due spazi e vedere se ce ne sono di diverse.
Per il secondo punto ti suggerisco di pensare alle proprietà topologiche dei due spazi e vedere se ce ne sono di diverse.
Ciao vict, intanto ti ringrazio per la risposta. Qualcosa ho capito però non riesco lo stesso a proseguire, sono nuovo della materia e questo è uno dei primi esercizi di un corso introduttivo che sto provando a fare. Online ho trovato solo esempi che costruiscono le carte come proiezioni degli emisferi, che nel caso della circonferenza richiede quattro carte. Quando hai tempo mi potresti dare qualche consiglio in più, magari iniziando a impostare l'esercizio con la mappa giusta? Grazie.
Forse ci sono, dico come vorrei impostare l'esercizio:
$ U_1=S-{(1,0)} $ e $ U_2=S-{(-1,0)} $
Le mappe mandano nell'angolo che si utilizza per il passaggio a coordinate polari.
$ f_1:U_1rarr (0,2pi) $
$ f_1(x,y)=theta_1 $ con $ theta_1 ={ ( pi/2 \ \ \ \ x=0 \ \ y=1),( (3pi)/2 \ \ \ \ x=0 \ \ y=-1 ),( arctan(y/x) \ \ \ \ x>0 \ \ y>0 ),( arctan(y/x) + 2pi\ \ \ \ x>0 \ \ y<0 ),( arctan(y/x)+pi \ \ \ \ x<0 ):} $
$ f_2:U_2rarr (-pi,pi) $
$ f_2(x,y)=theta_2 $ definito secondo la parametrizzazione alternativa che non riporto per brevità.
Sono funzioni invertibili, e mi sembrano continue anche se ho ancora delle difficoltà a formalizzare il concetto di continuità in questo contesto. Comunque prima di scendere nei formalismi qualcuno mi può dire se la strada è corretta?
$ U_1=S-{(1,0)} $ e $ U_2=S-{(-1,0)} $
Le mappe mandano nell'angolo che si utilizza per il passaggio a coordinate polari.
$ f_1:U_1rarr (0,2pi) $
$ f_1(x,y)=theta_1 $ con $ theta_1 ={ ( pi/2 \ \ \ \ x=0 \ \ y=1),( (3pi)/2 \ \ \ \ x=0 \ \ y=-1 ),( arctan(y/x) \ \ \ \ x>0 \ \ y>0 ),( arctan(y/x) + 2pi\ \ \ \ x>0 \ \ y<0 ),( arctan(y/x)+pi \ \ \ \ x<0 ):} $
$ f_2:U_2rarr (-pi,pi) $
$ f_2(x,y)=theta_2 $ definito secondo la parametrizzazione alternativa che non riporto per brevità.
Sono funzioni invertibili, e mi sembrano continue anche se ho ancora delle difficoltà a formalizzare il concetto di continuità in questo contesto. Comunque prima di scendere nei formalismi qualcuno mi può dire se la strada è corretta?
Sia \(U = S^1-\{(0,1)\}\). Per ogni \((x,y)\in U\) consideriamo la retta \(\mathbb{r}(t) = ( tx, 1 + ty - t )\) (la retta passante per \((0,1)\) e \((x,y)\) ). Questa retta intersecherà la retta \(y = 0\) in esattamente un punto ovvero \(\displaystyle \biggl(\frac{x}{1-y}, 0\biggr) \). Nota che il valore \(\displaystyle \frac{x}{1-y} \) è diverso per ogni elemento di \(\displaystyle U \) ed è ben definito per ogni punto. Fai lo stesso con \(U = S^1-\{(0,-1)\}\) e hai l'atlante che cerchi. Per comprendere queste mappe è spesso utile fare un disegno.
Si può ovviamente usare l'inversa della mappa \(r\mapsto(\cos r, \sin r)\) come penso che abbia cercato di fare tu ma richiede un po' di attenzione ed è un po' più complessa da scrivere.
Si può ovviamente usare l'inversa della mappa \(r\mapsto(\cos r, \sin r)\) come penso che abbia cercato di fare tu ma richiede un po' di attenzione ed è un po' più complessa da scrivere.
Grazie mille sei stato chiarissimo!
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