Determinare valori di k che rendono il piano parallelo alla retta
Buongiorno a tutti, ho riscontrato un problema con questo esercizio..
E dato il piano π : x + 2y + 3z + 4 = 0. Determinare i valori di k che rendono π parallelo alla retta r : x−y = 3y + kz + k = 0. Determinare i punti dell’asse y che sono distanti √14 da π. Posto k = 1, calcolare la distanza tra r e la retta s : x−y = 3y + z = 0 (parallela a r).
Potreste aiutarmi per favore, grazie infinite.
E dato il piano π : x + 2y + 3z + 4 = 0. Determinare i valori di k che rendono π parallelo alla retta r : x−y = 3y + kz + k = 0. Determinare i punti dell’asse y che sono distanti √14 da π. Posto k = 1, calcolare la distanza tra r e la retta s : x−y = 3y + z = 0 (parallela a r).
Potreste aiutarmi per favore, grazie infinite.
Risposte
Per la prima parte, metti a sistema piano e retta e imponi al sistema di essere impossibile. Dovrebbe venire $k=3$.
Il suggerimento di amelia è giusto ma volendo ragionare in termini puramente geometrici si può osservare
che affinché una retta sia parallela ad un piano è necessario e sufficiente che il vettore direzionale
del piano sia normale al vettore direzionale della retta. Nel caso tuo il vettore direzionale del piano è
$(1,2,3)$ mentre quello direzionale della retta è $(-k,-k,3)$.
Imponendo che tali vettori siano normali si ha la condizione:
$(1,2,3).(-k,-k,3)=0$
Ovvero :
$-k-2k+9=0$
da cui appunto $k=3$
che affinché una retta sia parallela ad un piano è necessario e sufficiente che il vettore direzionale
del piano sia normale al vettore direzionale della retta. Nel caso tuo il vettore direzionale del piano è
$(1,2,3)$ mentre quello direzionale della retta è $(-k,-k,3)$.
Imponendo che tali vettori siano normali si ha la condizione:
$(1,2,3).(-k,-k,3)=0$
Ovvero :
$-k-2k+9=0$
da cui appunto $k=3$
Grazie mille a tutti e due, adesso mi è più chiaro!
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