Matrici sistema di generatori per lo spazio: dubbio sul procedimento

[Bertucciamaldestra]

Buon pomeriggio,

le matrici $A=((1,1),(0,0))$ $B=((0,1),(1,0))$ $C=((1,0),(0,1))$ generano lo spazio delle matrici simmetriche 2x2?
Per verificarlo bisogna dimostrare l'esistenza e l'unicità dei coefficienti $x_1,x_2,x_3$ tali che
$x_1A+x_2B+x_3C=((a,b),(b,d))$
da ciò ottengo
${x_1= a-c$
${x_2= b-a+c$
${x_3= c$
Ecco ciò che mi chiedo, come so che questi coefficienti sono unici?

[dan952]

Se $A$, $B$ e $C$ non sono linearmente indipendenti non sono unici i coefficienti infatti se sono linearmente dipendenti esistono $y_1,y_2 \in \mathbb{R}$ tali che $y_1A+y_2B=C$ e quindi $x_1A+x_2B+x_3C=(x_1+x_3y_1)A+(x_2+x_3y_2)B+0\cdot C=...$

E comunque non lo generano perché $\mathbb{R}^(2×2)$ ha dimensione 4, io lì conto tre elementi per generarlo minimo devono essere 4