Proprietà spazio topologico "numerico"
Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio che mi sta facendo alquanto penare 
L'insieme $X$ è formato dai numeri decimali, limitati, non periodici.
(i) Non so come dimostrare rigorosamente che questo insieme non è un aperto. Ho che $Int(X)=\emptyset$, perché per ogni aperto della topologia euclidea in $X$ questo prende anche punti irrazionali.
(ii) $X$ non è chiuso poiché in $X$ posso trovare una sequenza convergente a $\pi$, per $p=314159...$, $q=5,...$ ma $\pi \notin X$ poiché è irrazionale. Pertanto $\overline{X}=RR$.
(iii) Credo che non sia compatto perché il seguente ricoprimento aperto $A_i=(-1/10^i, 1/10^i), i \in ZZ$, non ammette sotto-ricoprimento finito.
(iv) $X$ è connesso per archi in $(QQ,\tau_e)$ se per ogni $x,y \in QQ)$ trovo un cammino continuo $\alpha:[0,1] \rarr X$ tale che $\alpha(0)=x, \alpha(1)=y$. L'intuizione mi dice che poiché ogni $x \in X$ sta pure in $QQ$, allora posso costruire un cammino continuo visto che non ho "buchi", ma non so come formalizzarlo.
Grazie per l'attenzione
Nello spazio topologico $(\mathbb{R},\tau_e)$, sia $X={x \in \mathbb{R}: x=\frac{p}{10^q}, p,q \in \mathbb{Z}}$ un suo sottoinsieme, dire se:
(i) $X$ è aperto in $(\mathbb{R},\tau_e)$ e trovare il suo interno.
(ii)$X$ è chiuso in $(\mathbb{R},\tau_e)$ e trovare la sua chiusura.
(iii)$X$ è compatto.
(iv)$X$ è connesso per archi in $(\mathbb{Q},\tau_e)$
L'insieme $X$ è formato dai numeri decimali, limitati, non periodici.
(i) Non so come dimostrare rigorosamente che questo insieme non è un aperto. Ho che $Int(X)=\emptyset$, perché per ogni aperto della topologia euclidea in $X$ questo prende anche punti irrazionali.
(ii) $X$ non è chiuso poiché in $X$ posso trovare una sequenza convergente a $\pi$, per $p=314159...$, $q=5,...$ ma $\pi \notin X$ poiché è irrazionale. Pertanto $\overline{X}=RR$.
(iii) Credo che non sia compatto perché il seguente ricoprimento aperto $A_i=(-1/10^i, 1/10^i), i \in ZZ$, non ammette sotto-ricoprimento finito.
(iv) $X$ è connesso per archi in $(QQ,\tau_e)$ se per ogni $x,y \in QQ)$ trovo un cammino continuo $\alpha:[0,1] \rarr X$ tale che $\alpha(0)=x, \alpha(1)=y$. L'intuizione mi dice che poiché ogni $x \in X$ sta pure in $QQ$, allora posso costruire un cammino continuo visto che non ho "buchi", ma non so come formalizzarlo.
Grazie per l'attenzione
Risposte
(i)Dato che la parte interna non è l'insieme stesso non è aperto.
(ii)Non hai giustificato perché la sua chiusura è $RR$.
(iii)Sicuro sia un ricoprimento?
(iv)Cosa intendi con connesso per archi in $(QQ,\tau_e)$?
(ii)Non hai giustificato perché la sua chiusura è $RR$.
(iii)Sicuro sia un ricoprimento?
(iv)Cosa intendi con connesso per archi in $(QQ,\tau_e)$?
i) Un sottospazio è aperto se e solo se è uguale alla sua parte interna, perciò...
ii) Ok.
iii) Ok; puoi anche dire che, essendo $RR$ uno spazio di Hausdorff, ogni sottospazio compatto è anche chiuso, e usare il punto (ii).
iv) non è vero che in $QQ$ non ci sono "buchi"... anzi, ce n'è uno per ogni numero irrazionale! In particolare, ogni sottoinsieme di $QQ$ contenente almeno due punti è sconnesso: da qui come concludi?
ii) Ok.
iii) Ok; puoi anche dire che, essendo $RR$ uno spazio di Hausdorff, ogni sottospazio compatto è anche chiuso, e usare il punto (ii).
iv) non è vero che in $QQ$ non ci sono "buchi"... anzi, ce n'è uno per ogni numero irrazionale! In particolare, ogni sottoinsieme di $QQ$ contenente almeno due punti è sconnesso: da qui come concludi?
Ciao,
grazie per la risposta !
(i) Come pensavo, solo che speravo ci fosse anche un altro modo.
(ii)Qui sinceramente non saprei come motivarlo.
(iii)Perché non dovrebbe esserlo? Mi pare che l'unione copra tutti gli elementi di $X$ che voglio.
(iv)La definizione è esattamente la prima riga che ho scritto in (iv)
grazie per la risposta !
(i) Come pensavo, solo che speravo ci fosse anche un altro modo.
(ii)Qui sinceramente non saprei come motivarlo.
(iii)Perché non dovrebbe esserlo? Mi pare che l'unione copra tutti gli elementi di $X$ che voglio.
(iv)La definizione è esattamente la prima riga che ho scritto in (iv)
Grazie @spugna per la risposta!
Sì, $QQ,\tau_e$ è totalmente sconnesso e quindi dal momento che "connesso per archi => connesso$, allora "non connesso => non connesso per archi". Così dovrebbe andare
Mi rimane però il dubbio su come giustificare in (ii) che la chiusura è $RR$.
Sì, $QQ,\tau_e$ è totalmente sconnesso e quindi dal momento che "connesso per archi => connesso$, allora "non connesso => non connesso per archi". Così dovrebbe andare
Mi rimane però il dubbio su come giustificare in (ii) che la chiusura è $RR$.
(ii) Basta che fai la stessa cosa che hai fatto per $pi$, per un qualsiasi irrazionale.
(iii)Si scusa hai ragione avevo pensato che l'indice fosse in $NN$, anche se in realtà quegli intervalli dovresti intersecarli con $X$.
(iv)Quella definizione non ha senso, se prendo $x$ o $y$ fuori da $X$ non c'è speranza che riesce a trovare un tale cammino.
(iii)Si scusa hai ragione avevo pensato che l'indice fosse in $NN$, anche se in realtà quegli intervalli dovresti intersecarli con $X$.
(iv)Quella definizione non ha senso, se prendo $x$ o $y$ fuori da $X$ non c'è speranza che riesce a trovare un tale cammino.
(ii) Quindi posso dire che poiché $X$ non contiene ogni suo punto di accumulazione, allora $X$ non è chiuso, corretto?
(iii)Grazie di avermelo fatto notare... e dire che nella bruta copia l'avevo pure scritto
(iv) Credo che però $x,y$ vadano presi in $QQ$. Sinceramente è la prima volta che vedo una scrittura del genere.
(iii)Grazie di avermelo fatto notare... e dire che nella bruta copia l'avevo pure scritto
(iv) Credo che però $x,y$ vadano presi in $QQ$. Sinceramente è la prima volta che vedo una scrittura del genere.
(ii)Si.
(iii) n realtà ero io che non me n'ero accorto.
(iv)La proprietà di essere connesso per archi è una cosa che dipende solo dallo spazio, non dallo spazio e dal modo in cui è immerso (come invece lo sono la parte interna, la chiusura, l'essere denso) secondo la definizione che dà Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_co ... r_archi.29
(iii) n realtà ero io che non me n'ero accorto.
(iv)La proprietà di essere connesso per archi è una cosa che dipende solo dallo spazio, non dallo spazio e dal modo in cui è immerso (come invece lo sono la parte interna, la chiusura, l'essere denso) secondo la definizione che dà Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_co ... r_archi.29
Grazie, quindi potrei riformulare la definzione così: $X$ è connesso per archi in $QQ, \tau_e$ se per ogni punti $x,y \in X$ esiste un cammino continuo $\alpha:[0,1] \rarr X$, tale che $\alpha(0)=x, \alpha(1)=y$.
Ma poiché $QQ$ è totalmente sconnesso, allora non può nemmeno essere connesso per archi e quindi non esiste alcun cammino d quel tipo.
Ma poiché $QQ$ è totalmente sconnesso, allora non può nemmeno essere connesso per archi e quindi non esiste alcun cammino d quel tipo.
Si, è sostanzialmente tutto giusto quello che dici, solo che dimenticati di dire "in $(QQ,\tau_e)$", è connesso per archi PUNTO; tra l'altro è pure totalmente sconnesso per archi, essendo totalmente sconnesso.
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