Dubbio esercizio topologia
Buon pomeriggio.
In un esercizio, ho la seguente topologia:
Mi viene chiesto di determinare l'interno di $mathbb{Z}$.
Ho pensato che Int($mathbb{Z}$) $= emptyset$, in quanto so che Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$ e in $mathbb{Z}$, essendo discreto, non troverò mai un sottoinsieme di $mathbb{R}$ contenente un disco aperto centrato in un intero.
E' corretto? Il mio dubbio riguarda questa inclusione: Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$
E' corretta?
In un esercizio, ho la seguente topologia:
$tau = {A subset mathbb{R} | forall x in A cap mathbb{Z}, exists epsilon : (x-epsilon, x+epsilon) subset A}$
Mi viene chiesto di determinare l'interno di $mathbb{Z}$.
Ho pensato che Int($mathbb{Z}$) $= emptyset$, in quanto so che Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$ e in $mathbb{Z}$, essendo discreto, non troverò mai un sottoinsieme di $mathbb{R}$ contenente un disco aperto centrato in un intero.
E' corretto? Il mio dubbio riguarda questa inclusione: Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$
E' corretta?
Risposte
La seconda inclusione che hai scritto è la stessa di prima, forse volevi scrivere quella inversa? Immagino di sì, e comunque è giusta.
Quindi, l'utilizzo dell'inclusione Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$ è corretta nello svolgimento dell'esercizio?
Si si.
Perfetto! Ti ringrazio.
Un altro dubbio: mi viene chiesto di capire se $mathbb{R}$ dotato della topologia precedente è di Hausdorff.
Come potrei fare?
Io ho osservato che se considero, ad esempio, $x= 1/2$e$ y = 3/2$, essi hanno intorni non disgiunti.
Ad esempio, posso considerare $(-1, 2)$ per entrambi...
è corretto?
Un altro dubbio: mi viene chiesto di capire se $mathbb{R}$ dotato della topologia precedente è di Hausdorff.
Come potrei fare?
Io ho osservato che se considero, ad esempio, $x= 1/2$e$ y = 3/2$, essi hanno intorni non disgiunti.
Ad esempio, posso considerare $(-1, 2)$ per entrambi...
è corretto?
Emh no.... devi stabilire se esistono intorni disgiunti, trovarne non disgiunti non significa che non ne esistano disgiunti, infatti per i punti che hai considerato puoi prendere $(0,1)$ e $(1,2)$, che sono disgiunti e aperti.
E come posso procedere in questo caso?
Puoi dire che dato che quella topologia é più fine dell'euclidea (dimostralo!) sarà sicuramente di Haussdorff.
La topologia del mio esercizio non è meno fine della topologia euclidea?! Perché quest'ultima sicuramente contiene dischi centrati in numeri interi...
Ma sono aperti anche nella tua topologia.
Ok! Giusto! Ti ringrazio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo