Esercizio conica
Salve, avrei bisogno di un aiuto su questo esercizio.
Scrivere l'equazione della conica conoscendo questi dati:
1) la polare di P(1,0) è x+y-1 = 0
2) s: y +1 = 0 come diametro coniugato alla direzione u(1,2)
3) asse passante per P.
Io ho pensato di farlo scrivendo un fascio.
La mia idea di osservare che il polo di un diametro, essendo un punto improprio, definisce una direzione che è la direzione coniugata a d.
Quindi se s: y+1 = 0 è un diametro coniugato alla direzione u(1,2) vuol dire che P. (1, 2,0) è un punto improprio della conica.
Poi non riesco più a capire come andare avanti.
Spero in un vostro aiuto..
Grazie
Scrivere l'equazione della conica conoscendo questi dati:
1) la polare di P(1,0) è x+y-1 = 0
2) s: y +1 = 0 come diametro coniugato alla direzione u(1,2)
3) asse passante per P.
Io ho pensato di farlo scrivendo un fascio.
La mia idea di osservare che il polo di un diametro, essendo un punto improprio, definisce una direzione che è la direzione coniugata a d.
Quindi se s: y+1 = 0 è un diametro coniugato alla direzione u(1,2) vuol dire che P. (1, 2,0) è un punto improprio della conica.
Poi non riesco più a capire come andare avanti.
Spero in un vostro aiuto..
Grazie
Risposte
Salve a tutti. Ho concluso l'esercizio, ma non so se in maniera esatta. Potreste aiutarmi a capire se va bene?
Ho cominciato con l'osservare che il punto P(1,0), deve appartenere alla conica, in quanto esso appartiene alla sua polare. (Se non ricordo male se un polo appartiene alla sua polare, la polare è una tangente in P alla conica).
Fatta questa osservazione, nei dati si ha che P appartiene all'asse. Pertanto P deve essere un Vertice della conica.
Poi ho pensato che l'asse della conica deve essere perpendicolare alla tangente nel vertice. Pertanto
essendo la tangente in P alla conica x+y-1 = 0, l'asse avrà m = +1, e sarà di equazione a1 = x-y-1 = 0.
Conoscendo l'asse e un diametro (la retta s) posso calcolare il centro C, come loro intersezione, ossia C(0,-1).
Qui osservo che la conica non può essere una parabola, in quanto per essa il centro è un punto improprio.
C è un centro di simmetria pertanto calcolo il simmetrico P' di P rispetto a C e dovrebbe essere P': (-1,-2).
Calcolo la tangente un P' che è x+y+3 = 0.
Riesco così a scrivere il fascio di coniche bitangenti. Ossia:
F = C1 + k C2 = 0,
con C1 il prodotto tra le tangenti
e con C2 la retta PP' contata 2 volte.
Per ricavare la Conica dal Fascio, passo alle coordinate proiettive omogenee e impongo il passaggio per il punto improprio U(1,2,0). Trovo così la conica di equazione
C: 2x^2 - 3xy +2y^2 -3x + 4y +1 =0
Sbaglio qualcosa?
Ho cominciato con l'osservare che il punto P(1,0), deve appartenere alla conica, in quanto esso appartiene alla sua polare. (Se non ricordo male se un polo appartiene alla sua polare, la polare è una tangente in P alla conica).
Fatta questa osservazione, nei dati si ha che P appartiene all'asse. Pertanto P deve essere un Vertice della conica.
Poi ho pensato che l'asse della conica deve essere perpendicolare alla tangente nel vertice. Pertanto
essendo la tangente in P alla conica x+y-1 = 0, l'asse avrà m = +1, e sarà di equazione a1 = x-y-1 = 0.
Conoscendo l'asse e un diametro (la retta s) posso calcolare il centro C, come loro intersezione, ossia C(0,-1).
Qui osservo che la conica non può essere una parabola, in quanto per essa il centro è un punto improprio.
C è un centro di simmetria pertanto calcolo il simmetrico P' di P rispetto a C e dovrebbe essere P': (-1,-2).
Calcolo la tangente un P' che è x+y+3 = 0.
Riesco così a scrivere il fascio di coniche bitangenti. Ossia:
F = C1 + k C2 = 0,
con C1 il prodotto tra le tangenti
e con C2 la retta PP' contata 2 volte.
Per ricavare la Conica dal Fascio, passo alle coordinate proiettive omogenee e impongo il passaggio per il punto improprio U(1,2,0). Trovo così la conica di equazione
C: 2x^2 - 3xy +2y^2 -3x + 4y +1 =0
Sbaglio qualcosa?
qualcuno riesce ad aiutarmi?
Mi basterebbe sapere solo se il ragionamento è esatto...
Il calcolo del fascio di coniche mi sembra giusto. Secondo me invece sbagli quando imponi il passaggio per
la direzione U: credo non sia esatto. Piuttosto dovresti imporre che la polare di U, rispetto alla conica
generica del fascio già trovato, coincida con la retta $y+1=0$. In tal modo trovi $k=3$ e quindi la conica :
$x^2-xy+y^2-x+2y=0$
Comunque chiedi anche altre conferme.
la direzione U: credo non sia esatto. Piuttosto dovresti imporre che la polare di U, rispetto alla conica
generica del fascio già trovato, coincida con la retta $y+1=0$. In tal modo trovi $k=3$ e quindi la conica :
$x^2-xy+y^2-x+2y=0$
Comunque chiedi anche altre conferme.
Gentilissimo per la risposta.
Effettivamente mi sembra coerente.
Grazie, mi hai risolto un gran dubbio
Effettivamente mi sembra coerente.
Grazie, mi hai risolto un gran dubbio
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