Esercizio di topologia

[otta96]

Tempo fa mi serviva sapere se, data una funzione $f:[0,1]^2->RR$ separatamente continua (ovvero continua in ciascuna variabile tenendo fissa l'altra) ammettesse massimo (e minimo).
NOTAZIONE: Data una funzione $f:A->B$ e $C\subB$, indico con $f|C$ la restrizione a $C$ della funzione; inoltre non so come mettere il simbolo giusto per il prodotto cartesiano, ho messo una x, ma non mi piace tanto.
Ho riformulato il problema più in generale, che è quello che vi pongo a voi:

Siano $K$ uno spazio pseudocompatto (https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudocompact_space) e $X$ un qualsiasi spazio, sia $f:KxX->RR$ una funzione separatamente continua, ovvero $AAk\inK, f|{k}xX$ è continua e $AAx\inX, f|Kx{x}$ è continua.
A questo punto posso definire la funzione $g:X->RR$ in questo modo $g(x)=max_{k\inK} f(k,x)$, la domanda è: $g$ è continua?

[killing_buddha]

non so come mettere il simbolo giusto per il prodotto cartesiano

\times: \(\times\)

Per il resto, mi sembra un'istanza particolare del fatto che

0. la funzione \(\max_K : \mathbb{R}^K \to \mathbb R\) è continua dotando \(\mathbb R^K = \prod_{k\in K}\mathbb R\) della topologia prodotto ($K$ qui è considerato discreto, e allora $\mathbb R^K$ è lo spazio delle funzioni continue $K\to \mathbb R$ -entrambi gli spazi ora sono compattamente generati-);
1. come dice la pagina di wiki, la composizione di funzioni da uno pseudocompatto è continua; se $K$ è pseudocompatto ogni $f : K\times X \to \mathbb R$ definisce naturalmente una funzione $X \to \mathbb R^K$ (per trasposizione) che composta con max è continua come funzione $X \to \mathbb R$.

[otta96]

Ma $f$ non sappiamo che è continua, se una funzione è separatamente continua non necessariamente è continua, vale comunque che la composizione col max è continua?

[dissonance]

Non lo so, e non ho letto con attenzione. Ma forse questa discussione è rilevante:

https://math.stackexchange.com/q/429961/8157