Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho una domanda circa la riduzione in forma canonica di una conica.
Per quanto riguarda la rotazione devo:
1) trovare gli autovalori
2) e quindi gli autovettori e li normalizzo.
3) li metto per colonna e ricavo la matrice di rotazione.
Mi manca per caso qualcosa in questi step?
MI spiego.
Sto notando in alcuni esercizi che se scambio le colonne degli autovettori mi cambia la conica. Nel senso che se calcolo prima l'autovettore del primo autovalore e poi il secondo mi viene una matrice, nel caso ...
Salve! Riporto qui un problema che mi ha creato alcune difficoltà...
"Sia $n>=2$, sia $f$ nilpotente di $CC^n$ tale che $EE k>=1$ t.c $dim Ker f^(k+1)=dim Ker f^k +1 $
a)Mostrare che nella forma canonica di Jordan di $f$ è presente un unico blocco di ordine massimo
b)Mostrare che esiste un intero $h>=1$ tale che $dim Im f^h=1$
c)Mostrare che esiste $W$ sottospazio di $CC^n$ di dimensione 1 tale che ogni base di ...
Ho difficoltà nello stabilire la correttezza del seguente esercizio.
Sull'intervallo $I= [-1,1]$ della retta reale, dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea, è definita la relazione di equivalenza $\mathcal{R}$: $x\mathcal{R} y <=> y=-x, x \ne +-1$
Stabilire se lo spazio quoziente $I//\mathcal{R}$ è $T_2,T_1$ o $T_0$
La mia idea era questa.
Non è $T_2$ perché se considero i punti ${+1}$, ${-1}$, esiste un ...
Salve,
sto preparando l'esame di geometria 2 e allo scritto ci sarà un esercizio sulle coniche. Non credo di aver problemi sullo studio della conica e a trasformala in forma canonica, ma sul determinare, sotto certe condizioni, l'equazione della conica (da fare con il metodo dei fasci), tranne quando ho il passaggio per 5 punti., non mi riesce.
In più trovo difficoltà a reperire esercizi di questo tipo..
Potreste darmene qualcuno così lo risolvo e mi aiutate e/o correggete?
Salve dovrei calcolare il Polinomio caratteristico per questa matrice, ma sono rimasto incartato nei calcoli;
$ M = ((h,1,0),(1-h,2,2-2h),(0,1,h))$
$ P(T) = |((h-T,1,0),(1-h,2-T,2-2h),(0,1,h-T)) |= <br />
<br />
(h-T) | ((2-T, 2-2h), (1,h-t)) | + (1)^-1 |(1-h,2-2h),(0,h-T)| =<br />
<br />
= (h-T) ( T^2+T(-2h-h)+4h-2) + T-h+h^2-hT $
Forse ho fatto più calcoli del dovuto.... ma da qui non riesco ad arrivare al risultato che sul risvolto è:
$(h − T)(T − 1)(T − h − 1)$
Grazie per gli eventuali chiarimenti
Salve , vorrei chiarire un aspetto nello studio delle applicazioni lineari con dimensione di arrivo diverso da quella di partenza ;
ad esempio
$f : RR^3 → RR^4$definita dalle seguenti relazioni:
$<br />
f(1, 1, 1) = (h + 10, h, 2h + 1, −1)<br />
f(0, −1, 1) = (h + 1, 9, 1, 8)<br />
f(0, 1, 0) = (3, −3, h, −3)<br />
$
al variare di h ∈ R
ottengo
$M(f) = ((3,3,h+4),(h-3,-3,6),(0,h,h+1),(-3,-3,5)) $
L'esercizio svolto poi continua così
"Calcoliamo il Minore"
$| ((3,3,h+4),(h-3,-3,6),(-3,-3,5))| $ = −3h(h + 9). etc etc
Come mai si sceglie proprio di "scegliere " la terza riga ?
c'è qualcoas che ci indica quale riga scegliere per calcoalare ...
Salve, nello scorso appello di algebra e geometria mi è capitato un esercizio di questo genere:
Ho una retta r descritta dall'equazione parametrica :
(1,1,0) + t (1,0,7)
dove (1,1,0) è un P (punto) della retta e (1,0,7) il vettore direzione
La retta r è CONTENUTA in un piano che chiameremo $ pi $ .
Sappiamo che la retta r giace sul piano $ pi $ .
Quello che ho dedotto io è :
"dato che r giace su $ pi $ sono di conseguenza parallele e, di conseguenza, la ...
buongiorno a tutti
ho la seguente forma quadratica
l'esercizio mi chiede di classificarla
x^2 + z^2 +2xy -2yz +1 =0
quante caratteristiche può avere una forma quadratica?
degenere/ non degenere
che tipo di conica rappresenta
segnatura
definita positiva/definita negativa/semidef. positiva/ semidef. negativa
assi di simmetria
centro
poi ?? altre caratteristiche ??!
grazie infinite
Buonasera a tutti! Riporto qui sotto il testo di un esercizio su cui ho delle difficoltà
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,RR)$ due matrici tali che $A^2+B^2=AB$. Sia $N in M(3,RR)$ la matrice $N=((1,0,0),(0,0,-1),(0,1,-1))$
a)Mostrare che A è invertibile se e solo se B lo è;
b)Mostrare che se $v in RR^n$ è un autovettore comune ad A e B, allora $v in Ker A nn Ker B$
c)Se $A=I$, mostrare che n è pari e calcolare la forma canonica di Jordan di B;
d) Mostrare che se ...
Salve a tutti, mi è capitato un esercizio che non so come svolgere, ho la seguente conica
$x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x + 1 = 0$ da cui mi ricavo la matrice simmetrica associata :
$|(1,2,-3),(2,4,0),(-3,0,1)|$
Il determinante è di $A_{1212}$ è 0, quindi è una parabola.
L'esercizio mi dice di trovare, nel caso sia una parabola , il suo asse ma non ho la più pallida idea di come si faccia e nel libro di teoria non ho trovato niente di utile. Vi ringrazio in anticipo dell'attenzione e delle risposte!
Mi è venuta la curiosità di sapere come si calcola la lunghezza dell'arco tra due punti su una sfera di raggio noto $R$ di cui siano noti la longitudine, rispettivamente \(\theta_1\) e \(\theta_2\), e la latitudine, rispettivamente \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\).
Ho trovato la formula $$d=R\text{ arccos}(\sin\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\theta_1-\theta_2) ).$$
Qualcuno ne conosce una dimostrazione, meglio se linkabile da un ...
Buonasera a tutti, avrei bisogno di una conferma su questo esercizio di cui purtroppo non ho la soluzione
Sia $X=[-1,1]$ con la topologia $\tau$ così definita: $U$ è aperto in $\tau$ se non contiene $0$ oppure $u$ contiene $(-1,1)$.
Stabilire le proprietà di separazione di $(X,\tau)$
Ecco la mia idea:
Non è di Hausdorff: Sia $x=1$, $y \in X$. Sia ...
Vi propongo un esercizio di topologia (nel senso che so già come risolverlo, vorrei sapere come lo risolvereste voi), riporto testualmente: (C'è solo il punto $e)$ perché è l'unico che mi interessa proporvi)
Sia $U$ la topologia su $RR$ in cui un sottoinsieme è chiuso se e solo se è vuoto oppure è finito oppure contiene il punto $0$.
$e)$ dire se $(R,U)$ è separabile e soddisfa al primo assioma di ...
Salve a tutti.
Ho un triangolo di vertici T1,T2,T3 e un punto P nello spazio. Come posso determinare se il punto P è interno al triangolo?
Supponiamo inizialmente che il punto P sia sullo stesso piano del triangolo poi estendiamo al caso generale.
Grazie a tutti.
Buonasera a tutti, ho trovato questo problema che da ore mi sta mettendo in difficoltà:
nello spazio affine r4 trovare il piano passante per A=(2,0,1,-1) B=(3,1,1,1) e C=(2,2,0,0)
a) scrivere le eq del piano e trovare la proiezione ortogonale P' del punto P=(7,3,-3,3) sul piano
b) dato Q=(3,2,1,0 ) trovare l'eq della retta s passante per A contenuta nel piano e perpendicolare alla retta passante per A e Q
nel punto a) ho trovato l'eq del piano come A+ e mi risulta un sistema di ...
Buon pomeriggio! Sono alle prime armi con gli esercizi di topologia. Potreste dirmi se ho ragionato bene nel seguente esercizio?
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
1)
I Assioma)
$emptyset in tau$: banale
$mathbb{R} in tau$: sia $x in mathbb{R} Rightarrow x+1 in mathbb{R}$
II Assioma)
${A_i}_(i in I)$ famiglia di elementi di $tau$
sia $x in bigcup_(i in I) A_i Rightarrow exists$ $i in I: x in Ai in tau Rightarrow x+1 in Ai in bigcup_(i in I) A_i Rightarrow x+1 in bigcup_(i in I) A_i$
III Assioma)
Siano $A_1, A_2 in tau$
-> $A_1 cap A_2 = emptyset in tau$
-> $A_1 cap A_2 ne emptyset in tau Rightarrow x in A_1 in tau, x in A_2 in tau Rightarrow x+1 in A_1, x+1 in A_2 Rightarrow x+1 in A_1 cap A_2 $
2)
Sia ...
Non ho capito perchè il centro di una conica si trova intersecando le derivate parziali ... come si può dimostrare questo fatto?
[mod="gugo82"]@raffamaiden: Riduci l'avatar immediatamente (cfr. regolamento, 2.3).[/mod]
Salve,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente esercizio?
L'esercizio è questo:"Se \( F=\{\mathbb{R},+,*\} \) mostra che l'insieme delle funzioni continue \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) sull'intervallo chiuso \( [0,1] \),forma uno spazio vettoriale su $F$.
E mostra che tutte le derivate n-esime delle funzioni $C^n$ formano un sottospazio vettoriale su $F$."
(spero che la traduzione sia corretta)
Salve a tutti, volevo una conferma su come ho pensato di risolvere questi 2 esercizi :
1) Stabilire per quali valori di $λ \in RR$ il vettore $v = (1,2)$ è autovettore della matrice $C = ((λ+2,0),(-λ,λ+1))$ e determinare se C sia diagonalizzabile per tali valori di $λ$.
$=>$
Svolgo il prodotto matriciale :
$((λ+2,0),(-λ,λ+1))$$((1),(2)) = ((λ+2),(λ+2))$
Il vettore $((λ+2),(λ+2))$ è multiplo del vettore $((1),(2)) <=> λ =-2$
Per tale valore di $λ$ la ...
Salve a tutti! Posto qui sotto un esercizio su cui ho dei problemi
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $psi in PS(V)$. Per $f in End(V)$ invertibile, sia $phi_(f) in PS(V)$ il prodotto scalare definito da $phi_(f)(v,w)=psi(v,w)+psi(f(v),f(w))$ per ogni $v,w in V$
a)Mostrare che se $psi$ è semidefinito positivo, allora $phi_(f)$ è semidefinito positivo e $rnk(phi_(f))>=rnk(psi)$
b)Se $psi$ è non degenere allora ...
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