Coomologia di De Rham di $M - \{p \}$

[ACA2]

Sia $M$ una varietà connessa, compatta e orientabile e $p \in M$. Voglio calcolare la coomologia di $M - \{p \}$. Uso Mayer-Vietoris e va tutto liscio, finché non arrivo al grado $n-1$.

Sia $U \subset M$ tale che $p \in U$ e $U \cong \RR^n$, allora \(\displaystyle U \cap M \sim S^{n-1} \). Chiamo \(\displaystyle M^* = M - \{p\} \).

[size=85]
\(\displaystyle
H^{p-1}(S^{n-1}) \rightarrow H^p(M) \rightarrow H^p(M^*) \oplus H^p(R^n) \rightarrow H^p(S^{n-1}) \rightarrow H^{p+1}(M) \rightarrow H^{p+1}(M^*) \oplus H^{p+1}(\Bbb R^n) \rightarrow H^{p+1}(S^{n-1})
\)
[/size]

Da cui, per $p = n-1$, tenendo conto che per la dualità di Poincaré $H^n(M) \cong \RR$ e \(\displaystyle H^n(M*) \cong \{0\} \) (perché non compatto), trovo
\(\displaystyle
0 \rightarrow H^{n-1}(M) \rightarrow H^{n-1}(M^*) \rightarrow \Bbb R \rightarrow \Bbb R \rightarrow \Bbb R \rightarrow 0
\)

Ottengo \(\displaystyle H^{n-1}(M^*) \cong H^{n-1}(M) \oplus \Bbb R\), quando invece dovrei ottenere semplicemente \(\displaystyle H^{n-1}(M^*) \cong H^{n-1}(M) \). Ho provato a rivedere il procedimento più volte, ma mi sembra giusto. Dove sbaglio?

Grazie

[spugna2]

Hai sostituito il penultimo termine con $RR$, quando in realtà dovrebbe essere $0$...

[killing_buddha]

Sei in questa situazione
\[
0 \to H^{n-1}M \to H^{n-1}M^* \to \mathbb R \overset{\phi}\to \mathbb R \to 0
\]
dimostra che $\phi$ è un isomorfismo (sai che è la mappa di bordo $H^{n-1}(U\cap V)\to H^nM$) e usa l'esattezza per dedurre che $H^{n-1}M \to H^{n-1}M^*$ è un iso.

[ACA2]

Ops... stavo confondendo il Lemma di Poincaré per la coomologia di De Rham con quella compatta
Quindi \(\displaystyle H^n(\Bbb R^n) \cong \{0\} \), la successione mi viene come a voi e tutto torna. E pensare che l'ho rifatta pure un sacco di volte.

Grazie