Continuità applicazione
Buongiorno!
Su $mathbb{R}$ sia data la seguente topologia: $tau = {(-infty , a), a<0} cup {(b, +infty) cup {0}, b>0}$
Sia $f: (mathbb{R}, tau) -> (mathbb{R}, tau) , f(x) = x^2$
Mi viene chiesto di dimostrare che sia continua.
Non so come procedere.
Fisso $V$ aperto di $(mathbb{R}, tau)$
voglio mostrare che $f^(-1) (V) in tau$
$f^(-1) (V) = {x|f(x) in V} = {x|x^2 in V}$
Come posso procedere?
Su $mathbb{R}$ sia data la seguente topologia: $tau = {(-infty , a), a<0} cup {(b, +infty) cup {0}, b>0}$
Sia $f: (mathbb{R}, tau) -> (mathbb{R}, tau) , f(x) = x^2$
Mi viene chiesto di dimostrare che sia continua.
Non so come procedere.
Fisso $V$ aperto di $(mathbb{R}, tau)$
voglio mostrare che $f^(-1) (V) in tau$
$f^(-1) (V) = {x|f(x) in V} = {x|x^2 in V}$
Come posso procedere?
Risposte
Ciao,
come hai detto, devi dimostrare che la controimmagine di aperti è aperta.
A tal fine, fissato un aperto non banale di $\tau$, possiamo vederlo come l'unione di tre "pezzi": $U=(-\infty,a)$, ${0}$, $W=(b,+\infty)$ che decompongono l'aperto $V$.
La $f$ è una parabola, e $f^{-1}(U \cup {0} \cup W)=(-\infty, \sqrt(b)) \cup {0} \cup (\sqrt(b),+\infty)$, e poiché $b>0$ per ipotesi, $\sqrt(b) >1$, la controimmagine è aperta.
come hai detto, devi dimostrare che la controimmagine di aperti è aperta.
A tal fine, fissato un aperto non banale di $\tau$, possiamo vederlo come l'unione di tre "pezzi": $U=(-\infty,a)$, ${0}$, $W=(b,+\infty)$ che decompongono l'aperto $V$.
La $f$ è una parabola, e $f^{-1}(U \cup {0} \cup W)=(-\infty, \sqrt(b)) \cup {0} \cup (\sqrt(b),+\infty)$, e poiché $b>0$ per ipotesi, $\sqrt(b) >1$, la controimmagine è aperta.
Ho capito... ti ringrazio.
Se invece, la funzione è:
$f: (mathbb{R}, tau) -> (mathbb{R}, tau), f(x) = sin(x)$
riapplico lo stesso ragionamento?
Se invece, la funzione è:
$f: (mathbb{R}, tau) -> (mathbb{R}, tau), f(x) = sin(x)$
riapplico lo stesso ragionamento?
sì certo !
Ossia, $f^(-1)(V) = f^(-1)(U cup {0} cup W) = ...$
Come procedo, tenero conto che il seno varia tra -1 e 1?
Come procedo, tenero conto che il seno varia tra -1 e 1?
Come prima, notando che la controimmagine di ciò che sta fuori da $[-1,1]$ è il vuoto.
Quindi, risulterebbe: $f^(-1) (V) = (-1,a) cup {0} cup (b,1)$ ?
Ma credo sia sbagliato... è la prima volta che affronto questi esercizi e non so bene come procedere...
Ma credo sia sbagliato... è la prima volta che affronto questi esercizi e non so bene come procedere...
Considerando che, come detto prima, tutto ciò che accade per $b>1$ e $a<-1$ viene mappato nel vuoto, devi considerare il caso $-1
Per semplicità ( e periodicità), restringiamoci per un momento in $[-pi,pi]$. Allora, $f^{-1}(V)=(-pi/2,arcsen(a)) \cup {0} \cup (arcsen(b),pi/2)$, che evidentemente non è un aperto, quindi la $f$ non è continua.
Per semplicità ( e periodicità), restringiamoci per un momento in $[-pi,pi]$. Allora, $f^{-1}(V)=(-pi/2,arcsen(a)) \cup {0} \cup (arcsen(b),pi/2)$, che evidentemente non è un aperto, quindi la $f$ non è continua.
Ok! Ora mi è chiaro... Ti ringrazio!
Di nulla
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