Esercizio forma canonica di Jordan
Buonasera a tutti! Volevo postare questo esercizio che mi sto portando dietro da un po di giorni...
"Siano $n>=2$ un intero, $f$ un endomorfismo di $CC^n$ e $lambda$ un numero complesso.
a)Mostrare che se esiste un intero $k>=2$ tale che $dim Ker(f-lambdaid)^k=k dim Ker(f-lambdaid)$,
allora per ogni intero $h, 1<=h<=k, dim Ker(f-lambdaid)^h=h dim Ker(f-lambdaid)$
b)Nel caso in cui f sia nilpotente con indice di nilpotenza $s$, determinare tutte le possibili forme
canoniche di Jordan per $f$ se $Ker f sub Im f^(s-1)$
Allora io ho iniziato cosi: non so innanzitutto se $lambda$ è un autovalore per l'endomorfismo. Se non lo è,però, $dim Ker(f-lambdaid)=0$ e quindi la relazione per l'intero $h$ vale in quanto $Ker(f-lambdaid)^h sub Ker(f-lambdaid)^k$ per $1<=h<=k$
Quindi assumo $lambda$ autovalore per $f$. Magari potrei considerare il caso nilpotente (e quindi $lambda=0$) e dedurre poi il caso generale...
"Siano $n>=2$ un intero, $f$ un endomorfismo di $CC^n$ e $lambda$ un numero complesso.
a)Mostrare che se esiste un intero $k>=2$ tale che $dim Ker(f-lambdaid)^k=k dim Ker(f-lambdaid)$,
allora per ogni intero $h, 1<=h<=k, dim Ker(f-lambdaid)^h=h dim Ker(f-lambdaid)$
b)Nel caso in cui f sia nilpotente con indice di nilpotenza $s$, determinare tutte le possibili forme
canoniche di Jordan per $f$ se $Ker f sub Im f^(s-1)$
Allora io ho iniziato cosi: non so innanzitutto se $lambda$ è un autovalore per l'endomorfismo. Se non lo è,però, $dim Ker(f-lambdaid)=0$ e quindi la relazione per l'intero $h$ vale in quanto $Ker(f-lambdaid)^h sub Ker(f-lambdaid)^k$ per $1<=h<=k$
Quindi assumo $lambda$ autovalore per $f$. Magari potrei considerare il caso nilpotente (e quindi $lambda=0$) e dedurre poi il caso generale...
Risposte
Grazie per avermi segnalato la discussione in cui la prima parte dell'esercizio è identica.
Da lì ho capito che nel caso nilpotente, non esistono blocchi di ordine minore di $k$, ma non capisco perchè in questo modo si arriva alla tesi
Da lì ho capito che nel caso nilpotente, non esistono blocchi di ordine minore di $k$, ma non capisco perchè in questo modo si arriva alla tesi
"nick_10":
Grazie per avermi segnalato la discussione in cui la prima parte dell'esercizio è identica.
Da lì ho capito che nel caso nilpotente, non esistono blocchi di ordine minore di $k$, ma non capisco perchè in questo modo si arriva alla tesi
Considera [tex]J(f) = \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{cc} J_1 & \\ & J_2 \end{array} & 0 \\ 0 & \begin{array}{cc} \ddots & \\ & J_p \end{array} \end{array}\right][/tex], i blocchi sono tutti di ordine almeno $k$, quando elevi alla $h$ ottieni [tex]J(f)^h = \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{cc} J_1^h & \\ & J_2^h \end{array} & 0 \\ 0 & \begin{array}{cc} \ddots & \\ & J_p^h\end{array} \end{array}\right][/tex], detto $s$ l'ordine del blocco generico $J_i$, per quanto detto $s >= k > h$ e si ha che $dimKer(J_(i)^h) = {(h, \if h <= s),(s, \if h>=s):}$ poiché $s >=k$ allora $dimKer(J_(i)^h) = h$ e poiché ho in totale $p = dimKer(J(f))$ blocchi si arriva a dire che $dimKer(J(f)^h) = \sum_{i=1}^{p} dimKer(J_(i)^h) = p*h = h*dimKer(J)$.
Perfetto. Grazie 
Per il secondo invece, dovrebbe bastare sapere quanto vale la dimensione del nucleo (dato che essendo f nilpotente, la taglia massima di un blocco è pari a $s$)
Per il secondo invece, dovrebbe bastare sapere quanto vale la dimensione del nucleo (dato che essendo f nilpotente, la taglia massima di un blocco è pari a $s$)
Beh ma tu sai quanto vale il nucleo, pensa bene a cosa ti dice l'inclusione del nucleo in $Im(f^(s-1))$ tenendo conto che $f^s = f \circ f^(s-1) = 0$
L'inclusione dovrebbe darmi indicazione sulla nilpotenza...arrivo a un vicolo cieco
L'inclusione mi implica che $f circ f^(s-1)=0$, quindi l'ipotesi...
L'inclusione mi implica che $f circ f^(s-1)=0$, quindi l'ipotesi...
"nick_10":
L'inclusione dovrebbe darmi indicazione sulla nilpotenza...arrivo a un vicolo cieco
L'inclusione mi implica che $f circ f^(s-1)=0$, quindi l'ipotesi...
$f \circ f^(s-1) = 0$ implica che $Im(f^(s-1)) \subset Ker(f)$ e quindi per ipotesi $Ker(f) = Im(f^(s-1))$
Giusto...
Quindi c'è una sola possibile forma di Jordan?
Quindi c'è una sola possibile forma di Jordan?
Beh sì, riesci a caratterizzarla?
Dovrebbe essere presente un unico blocco nilpotente di ordine s
Perché unico? Ce ne sono $dimKer(f)$
Comunque sì, sono presenti solo blocchi di ordine massimo.
Comunque sì, sono presenti solo blocchi di ordine massimo.
Non posso in qualche modo trovarne la dimensione?
"nick_10":
Non posso in qualche modo trovarne la dimensione?
La dimensione del Nucleo? Non credo, è un contesto troppo generale secondo me. Ma forse puoi dedurre qualcosa sulla dimensione dello spazio: il numero di blocchi è $dimKer(f) = n - dimKer(f^(s-1)) = b_s$(numero di blocchi di ordine massimo. Quindi $dimV = dimKer(f) * s$ e quindi $s | dimV$, quindi, per esempio, non esistono endomorfismi nilpotenti di ordine $3$ con le caratteristiche sopracitate in spazi di dimensione $5$.
Okok chiaro.
Però facendo un passo indietro, se ci sono $dim ker f$ blocchi dovrei dimostrare che tutti sono di ordine massimo
Però facendo un passo indietro, se ci sono $dim ker f$ blocchi dovrei dimostrare che tutti sono di ordine massimo
"nick_10":
Okok chiaro.
Però facendo un passo indietro, se ci sono $dim ker f$ blocchi dovrei dimostrare che tutti sono di ordine massimo
Non è difficile, $dimKer(f) = n - dimKer(f^(s-1))$, i blocchi di ordine massimo quanti sono?
Giusto giusto
Scusa era chiaro anche da sopra
Scusa era chiaro anche da sopra
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