Angolo formato tra un vettore e un piano

[ZulPrinci]

Ciao a tutti, ho appena fatto l'esame di analisi 1 e mi sono imbattuta in questo esercizio:
Dati i vettori u=i, v=-i+j+k determinare per quali valori di λ il vettore w=u+λv forma un angolo di 60° con il piano π:x-y-z=3

Sono arrivata a scrivere il vettore w=i+(-λi+λj+λk) ma poi non ho idea di come proseguire, vi ringrazio per l'aiuto

[spugna2]

Formare un angolo di $60°$ con un piano vuol dire formare un angolo di $30°$ o di $150°$ con un vettore ortogonale al piano... da qui sai continuare?

[ZulPrinci]

"spugna":Formare un angolo di $60°$ con un piano vuol dire formare un angolo di $30°$ o di $150°$ con un vettore ortogonale al piano... da qui sai continuare?

Ho provato a risolverlo da sola in questi giorni e ne è uscito questo:

w=i(-λi)+λj+λk
w=1-λi+λj+λk

Ora, per trovare un vettore ortogonale (n) al piano, ho fatto prodotto vettoriale tra le coordinate del piano e quelle del vettore w
n=| i j k |
|1 -1 -1 | = -j+k
|1-λ λ λ|
Ora so che l'angolo fra il piano e il vettore n è di 90°, l'angolo fra il vettore w e il vettore n è di 30° e l'angolo fra il piano e il vettore w è di 60°

Da qui in poi non so come continuare

[spugna2]

"ZulPrinci":l'angolo fra il vettore w e il vettore n è di 30°

Può anche essere $180°-30°=150°$ (in particolare si passa da un angolo all'altro se si sostituisce $n$ con $-n$).

"ZulPrinci":Ora, per trovare un vettore ortogonale (n) al piano, ho fatto prodotto vettoriale tra le coordinate del piano e quelle del vettore w
n=| i j k |
|1 -1 -1 | = -j+k
|1-λ λ λ|

I coefficienti dell'equazione del piano ti danno già un vettore ortogonale: nel tuo caso va bene già $(1,-1,-1)$, che però è (fortunatamente) proporzionale a $v$, quindi ti conviene prendere $n=v$.

Da qui puoi concludere in due modi:

1) il coseno dell'angolo formato da $n$ e $w$ è $(\langle n,w \rangle) /(|n|*|w|)$, e devi imporre che sia $+- sqrt(3)/2$, trovando così un'equazione per $lambda$;

2) $w=(w-\langle w, n/|n| \rangle n)+\langle w,n/|n| \rangle n$, dove l'espressione tra parentesi è la componente parallela al piano e l'ultimo termine è la componente ortogonale: a questo punto puoi imporre che il modulo della componente ortogonale sia $sin(60°)*|w|$.