Esercizio topologia

[alfiere15]

Buon pomeriggio.
Sia $B = {[n,n+1] : n in ZZ}$
a) provare che $B$ è base di una topologia $tau$ su $RR$
b) la topologia $tau$ è più/meno fine della topologia euclidea $tau_0$ su $RR$?

a)
1) è ovvio che $RR = bigcup_(n in ZZ) [n,n+1]$
2) siano $A_1$ e $A_2$ elementi della base $B$ tali che $A_1$ $cap$ $A_2$ $ne emptyset$
$A_1 = [n,n+1], A_2 = [m,m+1], m,n in ZZ$
Può capitare che $A_1$ e $A_2$ coincidano agli estremi. Ma questi non sono elementi della base. Quindi $B$ non è base? O sbaglio il mio ragionamento?

b)
$tau subset t_0$?
sia $A in tau$, dunque $A$ è unione di elementi della base. Dunque, $A$ è un disco chiuso, che quindi non è elemento di $tau_0$
$tau_0 subset tau$?
sia $A in tau_0$, dunque $A$ è un disco aperto, che non posso vedere come unione di dischi chiusi (elementi di $tau$). Dunque, $A$ non è elemento di $tau$.
Le due topologie non sono confrontabili.
Giusto?

[killing_buddha]

L'unico modo in cui $A_m, A_n$ possono intersecarsi è quando $m=n+1$.

In questo caso però si intersecano in un unico punto $\{n+1\}$ e questo non può contenere nessun elemento della wannabe base. Quindi no, non sembra una base. Quindi non ha senso chiedersi se esiste una topologia generata da tale base.

Probabilmente però quella è una sottobase: se chiudi l'insieme \(\mathfrak B\) per intersezioni finite, ti viene l'insieme
\[
\mathfrak{B}^\cap = \mathfrak B \cup \{ \{n\}\mid n\in \mathbb Z\}
\] il quale è una base (copre tutto $\mathbb R$, e ora è evidente che l'intersezione $A_n\cap A_{n+1} = \{n+1\}$ è un elemento di $\mathfrak{B}^\cap$. La topologia generata da questa base è un po' strana; tutti i singoletti sono aperti, e gli aperti in generale sono della forma $\cup_{m,n\in\mathbb Z}[m,n]$.

Per quanto riguarda la seconda domanda, le due topologie non sono confrontabili, perché non è vero che ciascun aperto dell'una è un aperto dell'altra o viceversa.