Dimostrare che un'applicazione da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^n $ è aperta

[tommy1996q]

Stavo pensando a come poter dimostrare che l'applicazione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ che manda $x$ in una curva $\phi(x)$ sia aperta nel caso in cui la curva non faccia "schifo" (passatemi il termine ). Ad esempio, come potrei provare che la funzione $t \to (t,t^2)$ è aperta? Mi interesserebbe una trattazione il più generale possibile, comunque.
Personalmente avevo pensato a mostrare che la curva è una varietà, cioè localmente omeomorfa a un aperto di $\mathbb{R}$, ma formalmente come lo mostro?
Avevo pensato di considerarla come il luogo di zeri di $y-x^2 =0$ e poi usare il teorema delle funzioni implicite, ma non c'è una strada più "semplice"?

[otta96]

Ma non credo proprio che una funzione che NON faccia schifo da $RR$ a $RR^n$ possa essere aperta, perché, in termini intuitivi, l'immagine sarà qualcosa di una dimensione, che non può essere un aperto di $RR^n$, perché hanno n dimensioni.
Semmai potrebbe darsi che ciò valga però il condominio va ristretto all'immagine.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Forse tommy vuole mostrare che l'immagine è chiusa.

[j18eos]

Se tale funzione fosse continua e iniettiva non sarebbe aperta! (click)

[tommy1996q]

Mi sono spiegato male, scusate! Intendevo aperta nella topologia di sottospazio della curva

[otta96]

Ma anche questo non è detto, considera infatti la curva di parametrizzazione $\gamma(t)=(t^3-4t,t^2-4)$, questa non è aperta, nonostante sia abbastanza "buona" (sono polinomi!), perché ad esempio $\gamma((-3,-1))$ non è un aperto del supporto della curva (con la topologia da sottospazio di $RR^2$).
P.S. Se vuoi farti un'idea di come sia il suo supporto, è una specie di $\gamma$ con gli estremi allungati all'infinito (se non capisci ciò che sto blaterando guarda qua: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3-4x,x%5E2-4), che senz'altro è molto più chiaro).