Applicazione lineare
Buonasera a tutti ! Ho un problema sulla consegna di questo esercizio :
Sia $f : {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}→RR^3$ la funzione definita dalle seguenti posizioni
$f(1,1,0) = (3,2,0)$
$f(0,1,1) = (0,2,1)$
$f(1,0,1) = (3,0,1)$
Si può estendere f ad una applicazione lineare $f'$ di $RR^3$ ? Se fosse possibile, in quanti modi si potrebbe fare? Quale sarebbe la matrice associata ad $f'$ nel riferimento naturale? Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale funzione $f'$ sia diagonalizzabile o meno e determinarne (sempre solo con la definizione) autovalori, autovettori e autospazi.
Non so proprio da dove iniziare.. qualcuno mi sa dare una mano?
Sia $f : {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}→RR^3$ la funzione definita dalle seguenti posizioni
$f(1,1,0) = (3,2,0)$
$f(0,1,1) = (0,2,1)$
$f(1,0,1) = (3,0,1)$
Si può estendere f ad una applicazione lineare $f'$ di $RR^3$ ? Se fosse possibile, in quanti modi si potrebbe fare? Quale sarebbe la matrice associata ad $f'$ nel riferimento naturale? Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale funzione $f'$ sia diagonalizzabile o meno e determinarne (sempre solo con la definizione) autovalori, autovettori e autospazi.
Non so proprio da dove iniziare.. qualcuno mi sa dare una mano?
Risposte
Sia \(f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) e sia \(\beta=\{v_1, v_2, v_3\}\) una base di \(\mathbb{R}^3\). Allora in generale un' applicazione lineare è completamente determinata dal valore che assume sui vettori della base dello spazio, ovvero in questo caso da \[f(v_1), \quad f(v_2), \quad f(v_3).\]
Se vediamo il tuo caso nello specifico, abbiamo che, per le proprietà di linearità:
\[
\frac12\bigg(f(1,1,0)+f(0,1,1)-f(1,0,1)\bigg)=f(0,1,0)
\]ma è anche uguale a:
\[
\frac12\bigg((3,2,0)+(0,2,1)-(3,0,1)\bigg)=(0,2,0)
\]dunque hai che
\[f(0,1,0)=(0,2,0).
\]
Dato che la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto una base è formata nel seguente modo
\[
A=|f(v_1) \quad f(v_2) \quad \cdots \quad f(v_n)|
\]allora se ti trovi anche \(f(1,0,0)\) e \(f(0,0,1)\) avrai l'applicazione lineare espressa sulla base canonica di \(\mathbb{R}^3\) e dunque l'esercizio è terminato.
Se vediamo il tuo caso nello specifico, abbiamo che, per le proprietà di linearità:
\[
\frac12\bigg(f(1,1,0)+f(0,1,1)-f(1,0,1)\bigg)=f(0,1,0)
\]ma è anche uguale a:
\[
\frac12\bigg((3,2,0)+(0,2,1)-(3,0,1)\bigg)=(0,2,0)
\]dunque hai che
\[f(0,1,0)=(0,2,0).
\]
Dato che la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto una base è formata nel seguente modo
\[
A=|f(v_1) \quad f(v_2) \quad \cdots \quad f(v_n)|
\]allora se ti trovi anche \(f(1,0,0)\) e \(f(0,0,1)\) avrai l'applicazione lineare espressa sulla base canonica di \(\mathbb{R}^3\) e dunque l'esercizio è terminato.
Ciao ! Ti ringrazio molto per la spiegazione che mi ha aiutato parecchio, però c'è un ultimo dubbio :
Il testo chiede esplicitamente (come avrai letto) "Si può estendere $f$ ad una applicazione lineare $f'$ di $RR^3$ ? Se fosse possibile, in quanti modi si potrebbe fare? "
Ora non mi è chiaro come sapere "in quanti modi" posso ricavare un applicazione lineare. C'è una proposizione o una formula per ricavarlo?
Il testo chiede esplicitamente (come avrai letto) "Si può estendere $f$ ad una applicazione lineare $f'$ di $RR^3$ ? Se fosse possibile, in quanti modi si potrebbe fare? "
Ora non mi è chiaro come sapere "in quanti modi" posso ricavare un applicazione lineare. C'è una proposizione o una formula per ricavarlo?
L'applicazione lineare in tal modo determinata é unica (quando si dice "completamente determinata" si intende anche che é unica) (il mio testo di riferimento é l'Abate e li é dimostrato (proposizione 5.2). Se hai altre domande chiedi pure, seppur la mia conoscenza sia limitata 
.
.
Credo di aver risolto i miei dubbi poichè ho trovato : "Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata"
E dato che i tre vettori
$(1,1,0)\ (0,1,1)\ (1,0,1) $ costituiscono una base per $RR^3$ l'applicazione lineare esiste ed è unica
E dato che i tre vettori
$(1,1,0)\ (0,1,1)\ (1,0,1) $ costituiscono una base per $RR^3$ l'applicazione lineare esiste ed è unica
Quello che avevo scritto nella prima risposta
"scarpma":
Quello che avevo scritto nella prima risposta
Certo però non ne capivo il motivo
Grazie mille per tutto
!
Per la determinazione dell'applicazione esiste anche un metodo di natura generale che prescinde cioé dalla forma dei dati.
Precisamente si cerca di esprimere il vettore generico dello spazio di riferimento in funzione dei vettore dati.
Nel nostro caso occorre calcolare gli scalari a,b,c in modo che si verifichi l'eguaglianza:
$(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)$
Ciò porta al sistema:
\begin{cases} a+c=x\\a+b=y\\b+c=z \end{cases}
La soluzione di tale sistema è:
$a=1/2(x+y-z),b=1/2(-x+y+z),c=1/2(x-y+z)$
Pertanto la relazione precedente risulta essere questa:
$(x,y,z)=1/2(x+y-z)(1,1,0)+1/2(-x+y+z)(0,1,1)+1/2(x-y+z)(1,0,1)$
Passando alle immagini si ha:
$f(x,y,z)=1/2(x+y-z)(3,2,0)+1/2(-x+y+z)(0,2,1)+1/2(x-y+z)(3,0,1)$
Sviluppando i facili calcoli si ha l'applicazione:
$f(x,y,z)=(3x,2y,1z)$
P.S. Ovviamente tutti i vettori in gioco vanno pensati scritti in verticale...
Precisamente si cerca di esprimere il vettore generico dello spazio di riferimento in funzione dei vettore dati.
Nel nostro caso occorre calcolare gli scalari a,b,c in modo che si verifichi l'eguaglianza:
$(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)$
Ciò porta al sistema:
\begin{cases} a+c=x\\a+b=y\\b+c=z \end{cases}
La soluzione di tale sistema è:
$a=1/2(x+y-z),b=1/2(-x+y+z),c=1/2(x-y+z)$
Pertanto la relazione precedente risulta essere questa:
$(x,y,z)=1/2(x+y-z)(1,1,0)+1/2(-x+y+z)(0,1,1)+1/2(x-y+z)(1,0,1)$
Passando alle immagini si ha:
$f(x,y,z)=1/2(x+y-z)(3,2,0)+1/2(-x+y+z)(0,2,1)+1/2(x-y+z)(3,0,1)$
Sviluppando i facili calcoli si ha l'applicazione:
$f(x,y,z)=(3x,2y,1z)$
P.S. Ovviamente tutti i vettori in gioco vanno pensati scritti in verticale...
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