Esercizio topologia su spazi compattamente generati
Buondì, sto cercando di risolvere il seguente esercizio ma senza successo
Dimostrare che se ogni punto di uno spazio topologico di Hausdorff $X$ possiede un intorno compatto, allora $X$ è compattamente generato.
Tentativo:
Chiamo $\mathcal{A}$ la famiglia dei sottospazi compatti di $X$. Poiché ogni punto possiede un intorno compatto vale che
$ X = \bigcup \{ K | K \in \mathcal{A} \} $. Dunque la famiglia dei sottospazi compatti di $X$ ne forma un ricoprimento. Devo dimostrare adesso che tale ricoprimento è fondamentale, cioè che se $U \subset X$ è t.c. $U \cap K$ è chiuso in $K$ per ogni $K \in \mathcal{A}$ allora $U$ è chiuso.
Ebbene, sapendo che $X$ è di Hausdorff ho che tutti i compatti sono chiusi. Provo per assurdo a considerare $y \in \overline{U} \setminus U$. Poiché tale punto appartiene alla chiusura di $U$ esiste un suo intorno compatto (e quindi chiuso) che interseca $U$ in qualche punto. Cioè $K \cap U \ne \emptyset$ ed inoltre è chiuso in $K$.
Da qua il vuoto.
Grazie a chiunque volesse darmi una mano.
Dimostrare che se ogni punto di uno spazio topologico di Hausdorff $X$ possiede un intorno compatto, allora $X$ è compattamente generato.
Tentativo:
Chiamo $\mathcal{A}$ la famiglia dei sottospazi compatti di $X$. Poiché ogni punto possiede un intorno compatto vale che
$ X = \bigcup \{ K | K \in \mathcal{A} \} $. Dunque la famiglia dei sottospazi compatti di $X$ ne forma un ricoprimento. Devo dimostrare adesso che tale ricoprimento è fondamentale, cioè che se $U \subset X$ è t.c. $U \cap K$ è chiuso in $K$ per ogni $K \in \mathcal{A}$ allora $U$ è chiuso.
Ebbene, sapendo che $X$ è di Hausdorff ho che tutti i compatti sono chiusi. Provo per assurdo a considerare $y \in \overline{U} \setminus U$. Poiché tale punto appartiene alla chiusura di $U$ esiste un suo intorno compatto (e quindi chiuso) che interseca $U$ in qualche punto. Cioè $K \cap U \ne \emptyset$ ed inoltre è chiuso in $K$.
Da qua il vuoto.
Grazie a chiunque volesse darmi una mano.
Risposte
Potrebbe esserti utile dimostrare che ogni punto di \(X\) una base locale di intorni aperti relativamente compatti. 
Mmmm per ogni $x$ posso considerare la famiglia di sottoinsiemi $\mathcal{I}_x$ degli intorni di $x$ e un suo intorno fissato compatto $K$ . Esso contiene un aperto $U$ a cui $x$ appartiene. La famiglia $\mathcal{A} =\{V : V=U \cap A | A \in \mathcal{I}_x \}$ è costituita da intorni di $x$ (intersezione di intorni è ancora un intorno) aperti (ogni elemento è dato dall'intersezione di due aperti ed è dunque aperto). Inoltre preso $A \in \mathcal{I}_x$ esiste un elemento di $\mathcal{A}$ ($A \cap K$) contenuto in $A$. Quindi $\mathcal{A}$ forma una base locale di intorni aperti di $x$.
Ora, ogni elemento $V$ di $\mathcal{A}$ è contenuto in $K$ compatto che, siccome $X$ è di Hausdorff, è pure chiuso. Dunque $\overline{V} \subset K$ ed essendo un sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto.
La famiglia $\mathcal{A}$ è dunque una base locale di intorni aperti relativamente compatti di $x$.
(O almeno credo)
Ora, ogni elemento $V$ di $\mathcal{A}$ è contenuto in $K$ compatto che, siccome $X$ è di Hausdorff, è pure chiuso. Dunque $\overline{V} \subset K$ ed essendo un sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto.
La famiglia $\mathcal{A}$ è dunque una base locale di intorni aperti relativamente compatti di $x$.
(O almeno credo)
Mi è venuto in mente una cosa ma non capisco perché sia sbagliata, non sto usando che $X$ sia di Hausdorff:
Considero la famiglia di compatti $K \subset X$ che so ricoprire $X$ per quanto detto nel primo post. Considero ora un sottoinsieme $U \subset X$ tale che $U \cap K$ è aperto in $K$ per ogni $K$. Ciò significa che esiste un aperto $A\ subset X$ tale che $U \cap K = A \cap K$. Prendo $x \in U$ e considero un intorno compatto $K$ di $x$. $x \in U \cap K = A \cap K$. Ma $A$ è un intorno di $x$ perché lo contiene ed è aperto, quindi $A \cap K$ è un intorno di $x$. Per quanto detto nel mio secondo posto (ma senza il secondo paragrafo dove uso che $X$ è di Hausdorff) esiste un aperto $V \subset A \cap K$ che contiene $x$. Siccome $V \subset U$ allora $U$ è aperto.
Dove sbaglio?
Considero la famiglia di compatti $K \subset X$ che so ricoprire $X$ per quanto detto nel primo post. Considero ora un sottoinsieme $U \subset X$ tale che $U \cap K$ è aperto in $K$ per ogni $K$. Ciò significa che esiste un aperto $A\ subset X$ tale che $U \cap K = A \cap K$. Prendo $x \in U$ e considero un intorno compatto $K$ di $x$. $x \in U \cap K = A \cap K$. Ma $A$ è un intorno di $x$ perché lo contiene ed è aperto, quindi $A \cap K$ è un intorno di $x$. Per quanto detto nel mio secondo posto (ma senza il secondo paragrafo dove uso che $X$ è di Hausdorff) esiste un aperto $V \subset A \cap K$ che contiene $x$. Siccome $V \subset U$ allora $U$ è aperto.
Dove sbaglio?
Bene per la prima dimostrazione, ovvero il mio suggerimento.
Nella seconda risposta: \(V\) è un sottoinsieme aperto di \(A\cap K\) contenuto in \(U\); e ciò non ti può permettere di affermare che \(U\) sia aperto in \(X\)!
Nella seconda risposta: \(V\) è un sottoinsieme aperto di \(A\cap K\) contenuto in \(U\); e ciò non ti può permettere di affermare che \(U\) sia aperto in \(X\)!
Ma $V$ non è un aperto di $X$?
Cioè $A$ è un intorno di $x$, $K$ è un intorno di $x$ dunque $A \cap K$ è un intorno di $x$. Quindi esiste un aperto in esso contenuto che contiene $x$.
Dove mi sto prendendo?
Cioè $A$ è un intorno di $x$, $K$ è un intorno di $x$ dunque $A \cap K$ è un intorno di $x$. Quindi esiste un aperto in esso contenuto che contiene $x$.
Dove mi sto prendendo?
Sì, ma \(A\cap K\) non è un aperto di \(X\)!
Certo ma essendo un intorno di $x$ non contiene un aperto di $X$ che contiene $x$?
Dopo un lungo fine settimana, ho chiarito diverse idee...
Definizione 1: uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\tau)\) si definisce compattamente generato se un sottospazio \(\displaystyle C\) di \(\displaystyle X\) è chiuso se e solo se \(\displaystyle C\cap K\) è un sottospazio chiuso di ogni sottospazio compatto \(\displaystyle K\) di \(\displaystyle X\)!
Nota 1: una definizione analoga la si può dare per gli aperti.
Definizione 2: uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\tau)\) si definisce localmente compatto se ogni punto \(\displaystyle x\in X\) ha una base locale \(\displaystyle\mathscr{U}\) di intorni aperti a chiusura compatta (intorni relativamente compatti).
Nota 2: esistono altre definizioni di spazio topologico localmente compatto, e queste sono equivalente solo se lo spazio in questione è di Hausdorff!
Teorema: Ogni spazio topologico localmente compatto è compattamente generato.
@Bremen000 Tu hai dimostrato che uno spazio topologico localmente compatto, secondo la definizione 2, soddisfa la condizione "solo se" della definizione 1 con gli aperti (cfr. la nota 1); ti resta da dimostrare la parte "se" con gli aperti.
Però attenzione, come affermato nella nota 2, considerare uno spazio topologico di Hausdorff tale che ogni suo punto abbia un intorno compatto, non è la stessa cosa di considerare uno spazio topologico non Hausdorff tale che ogni suo punto abbia un intorno compatto!
Esempio\Esercizio: sia \(\displaystyle X\) un insieme infinito e \(\displaystyle x_0\) un suo punto; considerata la topologia \(\displaystyle\tau_{x_0}\) puntata in \(\displaystyle x_0\), ovvero:
\[
\tau_{x_0}=\{\emptyset\}\cup\{Y\subseteq X\mid x_0\in Y\}
\]
hai che \(\displaystyle(X,\tau_{x_0})\) non è uno spazio né di Hausdorff e né compatto; ma \(\displaystyle x_0\) ammette una base locale di intorni compatti non relativamente compatti!
Definizione 1: uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\tau)\) si definisce compattamente generato se un sottospazio \(\displaystyle C\) di \(\displaystyle X\) è chiuso se e solo se \(\displaystyle C\cap K\) è un sottospazio chiuso di ogni sottospazio compatto \(\displaystyle K\) di \(\displaystyle X\)!
Nota 1: una definizione analoga la si può dare per gli aperti.
Definizione 2: uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\tau)\) si definisce localmente compatto se ogni punto \(\displaystyle x\in X\) ha una base locale \(\displaystyle\mathscr{U}\) di intorni aperti a chiusura compatta (intorni relativamente compatti).
Nota 2: esistono altre definizioni di spazio topologico localmente compatto, e queste sono equivalente solo se lo spazio in questione è di Hausdorff!
Teorema: Ogni spazio topologico localmente compatto è compattamente generato.
@Bremen000 Tu hai dimostrato che uno spazio topologico localmente compatto, secondo la definizione 2, soddisfa la condizione "solo se" della definizione 1 con gli aperti (cfr. la nota 1); ti resta da dimostrare la parte "se" con gli aperti.
Però attenzione, come affermato nella nota 2, considerare uno spazio topologico di Hausdorff tale che ogni suo punto abbia un intorno compatto, non è la stessa cosa di considerare uno spazio topologico non Hausdorff tale che ogni suo punto abbia un intorno compatto!
Esempio\Esercizio: sia \(\displaystyle X\) un insieme infinito e \(\displaystyle x_0\) un suo punto; considerata la topologia \(\displaystyle\tau_{x_0}\) puntata in \(\displaystyle x_0\), ovvero:
\[
\tau_{x_0}=\{\emptyset\}\cup\{Y\subseteq X\mid x_0\in Y\}
\]
hai che \(\displaystyle(X,\tau_{x_0})\) non è uno spazio né di Hausdorff e né compatto; ma \(\displaystyle x_0\) ammette una base locale di intorni compatti non relativamente compatti!
Ciao, grazie mille per la risposta super dettagliata, mi hai chiarito il rapporto tra un po' di cose! Correggimi se sbaglio:
Io ho dimostrato che uno spazio di Hausdorff t.c. ogni punto ha un intorno compatto è localmente compatto.
Dopodiché ho dimostrato (indipendentemente da questo) che uno spazio (senza Hausdorff) t.c. ogni punto ha un intorno compatto è compattamente generato (o meglio, ho dimostrato il "solo se" della definizione di compattamente generato).
Di fatto localmente compatto implica che ogni punto ha un intorno compatto e quindi ho dimostrato che uno spazio localmente compatto è compattamente generato (cioè, il "solo se" della definizione di compattamente generato).
Per quanto riguarda il "se" della definizione di compattamente generato credo sia banale: se $U$ è aperto in $X$ allora, preso un qualsiasi compatto $K \subset X$, il sottospazio $U \cap K$ è per definizione aperto in $K$.
Detto ciò, l'esercizio:
1. $X$ non è di Hausdorff: siano $x$ e $y$ due punti distinti di $X$ e siano $U_x$ e $U_y$ due loro intorni. Per definizione di intorno essi contengono due aperti non vuoti di $X$ t.c. $x \in A_x \subset U_x$ e $y \in A_y \subset U_y$. Poiché $x_0$ appartiene ad ogni aperto non vuoto, $x_0 \in A_x \cap A_y \ne \emptyset$ e dunque punti distinti non ammettono intorni disgiunti.
2. $X$ non è compatto: considero la famiglia di aperti $\{ \{x_0, x \} | x \in X \setminus \{x_0 \} \}$. Se ammettesse un sottoricoprimento finito allora anche $X$ sarebbe finito, il che è assurdo.
3. Ogni insieme finito a cui appartiene $x_0$ è un compatto: sia $A$ un tale insieme, e se ne consideri un ricoprimento aperto $\mathcal{A}$. Per ogni $y \in A$ esiste un $A_y \in \mathcal{A}$ che lo contiene. Allora la famiglia $\{A_y | y \in A \}$ è un sottoricoprimento aperto finito di $A$.
4. $x_0$ ammette una base locale di intorni compatti: La famiglia degli insiemi finiti che contengono $x_0$ è una base locale di intorni di $x_0$ giacché ogni intorno di $x_0$ contiene un insieme finito che contiene $x_0$. Dal punto 3, tali intorni sono compatti.
5. La chiusura di ognuno di questi intorno non è compatta: sia $A$ un insieme finito che contiene $x_0$. L'unico chiuso che contiene $A$ è tutto $X$ che, come da punto 2, non è compatto.
Ho scritto un poema! Spero di non aver detto scemenze.
Ti ringrazio infinitamente per la tua attenzione!
Io ho dimostrato che uno spazio di Hausdorff t.c. ogni punto ha un intorno compatto è localmente compatto.
Dopodiché ho dimostrato (indipendentemente da questo) che uno spazio (senza Hausdorff) t.c. ogni punto ha un intorno compatto è compattamente generato (o meglio, ho dimostrato il "solo se" della definizione di compattamente generato).
Di fatto localmente compatto implica che ogni punto ha un intorno compatto e quindi ho dimostrato che uno spazio localmente compatto è compattamente generato (cioè, il "solo se" della definizione di compattamente generato).
Per quanto riguarda il "se" della definizione di compattamente generato credo sia banale: se $U$ è aperto in $X$ allora, preso un qualsiasi compatto $K \subset X$, il sottospazio $U \cap K$ è per definizione aperto in $K$.
Detto ciò, l'esercizio:
1. $X$ non è di Hausdorff: siano $x$ e $y$ due punti distinti di $X$ e siano $U_x$ e $U_y$ due loro intorni. Per definizione di intorno essi contengono due aperti non vuoti di $X$ t.c. $x \in A_x \subset U_x$ e $y \in A_y \subset U_y$. Poiché $x_0$ appartiene ad ogni aperto non vuoto, $x_0 \in A_x \cap A_y \ne \emptyset$ e dunque punti distinti non ammettono intorni disgiunti.
2. $X$ non è compatto: considero la famiglia di aperti $\{ \{x_0, x \} | x \in X \setminus \{x_0 \} \}$. Se ammettesse un sottoricoprimento finito allora anche $X$ sarebbe finito, il che è assurdo.
3. Ogni insieme finito a cui appartiene $x_0$ è un compatto: sia $A$ un tale insieme, e se ne consideri un ricoprimento aperto $\mathcal{A}$. Per ogni $y \in A$ esiste un $A_y \in \mathcal{A}$ che lo contiene. Allora la famiglia $\{A_y | y \in A \}$ è un sottoricoprimento aperto finito di $A$.
4. $x_0$ ammette una base locale di intorni compatti: La famiglia degli insiemi finiti che contengono $x_0$ è una base locale di intorni di $x_0$ giacché ogni intorno di $x_0$ contiene un insieme finito che contiene $x_0$. Dal punto 3, tali intorni sono compatti.
5. La chiusura di ognuno di questi intorno non è compatta: sia $A$ un insieme finito che contiene $x_0$. L'unico chiuso che contiene $A$ è tutto $X$ che, come da punto 2, non è compatto.
Ho scritto un poema! Spero di non aver detto scemenze.
Ti ringrazio infinitamente per la tua attenzione!
"Bremen000":Qui c'è un errore sottile: non è detto che ogni compatto sia intorno di un punto, ovvero non hai dimostrato che le ipotesi della mia precedente definizione 1 siano soddisfatte per ogni compatto; quindi non puoi affermare che un siffatto spazio topologico sia compattamente generato!
...Dopodiché ho dimostrato (indipendentemente da questo) che uno spazio (senza Hausdorff) t.c. ogni punto ha un intorno compatto è compattamente generato (o meglio, ho dimostrato il "solo se" della definizione di compattamente generato)...
Ciao, purtroppo non sto capendo. Io, attraverso questo:
Penso di aver dimostrato che "spazio topologico t.c. ogni punto ha un intorno compatto" implica il "solo se" della def 1.
Sapendo che ogni punto ha intorno compatto ho mostrato che i compatti formano un ricoprimento. Poi preso un insieme che soddisfa l'ipotesi "$U\cap K$ aperto in $K$ per ogni $K$" ho mostrato che questo implica che "$U$ è aperto"...
Dove mi incasino?
"Bremen000":
Mi è venuto in mente una cosa ma non capisco perché sia sbagliata, non sto usando che $X$ sia di Hausdorff:
Considero la famiglia di compatti $K \subset X$ che so ricoprire $X$ per quanto detto nel primo post. Considero ora un sottoinsieme $U \subset X$ tale che $U \cap K$ è aperto in $K$ per ogni $K$. Ciò significa che esiste un aperto $A\ subset X$ tale che $U \cap K = A \cap K$. Prendo $x \in U$ e considero un intorno compatto $K$ di $x$. $x \in U \cap K = A \cap K$. Ma $A$ è un intorno di $x$ perché lo contiene ed è aperto, quindi $A \cap K$ è un intorno di $x$. Per quanto detto nel mio secondo posto (ma senza il secondo paragrafo dove uso che $X$ è di Hausdorff) esiste un aperto $V \subset A \cap K$ che contiene $x$. Siccome $V \subset U$ allora $U$ è aperto.
Penso di aver dimostrato che "spazio topologico t.c. ogni punto ha un intorno compatto" implica il "solo se" della def 1.
Sapendo che ogni punto ha intorno compatto ho mostrato che i compatti formano un ricoprimento. Poi preso un insieme che soddisfa l'ipotesi "$U\cap K$ aperto in $K$ per ogni $K$" ho mostrato che questo implica che "$U$ è aperto"...
Dove mi incasino?
Ah scusa, non avevo riletto la tua dimostrazione;
avevo capìto che usavi solo i compatti che sono intorni dei punti di \(\displaystyle X\)!
avevo capìto che usavi solo i compatti che sono intorni dei punti di \(\displaystyle X\)!
Perfetto! Ancora grazie mille!
P.S. L'esempio/esercizio era giusto?
P.S. L'esempio/esercizio era giusto?
L'esercizio è corretto!
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