Trovare base di uno spazio vettoriale

[handuup]

Buongiorno. Ho un problema con la ricerca delle basi. So che un base è un sistema di generatori linearmente indipendenti e quindi deve soddisfare questi 2 requisiti. Però mi sorge un dubbio su esercizi di questo genere:
U={(x,y,z)appartenenti a R3 t.c. x-2y+z=0}. Ecco. Non so come procedere per vedere se sono indipendenti. Ho difficoltà con questi tipo si esercizi, dove compaiono equazioni del genere. Come faccio? Un grazie in anticipo

[Magma1]

"handuup":

$U={(x,y,z) in RR^3 | x-2y+z=0}$

L'insieme costituito dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio?

Quante e quali sono le soluzioni dell'equazione lineare omogenea:

$x-2y+z=0$

Buon divertimento!

[handuup]

Da quanto ne so io,l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo forma un sottospazio. Ma quell'equazione ha infinite soluzioni per esempio (1,1,1) o (2,2,2) etc... cioè infinite.
Non ho capito però cosa vuol dire tutto questo

[@melia]

Le soluzioni non sono semplicemente infinite, sono $oo^2$ perché non basta fissare arbitrariamente una variabile per ottenere le altre due, bisogna procedere col fissare due variabili per ottenere univocamente le terza.

[handuup]

Ok grazie. Quindi la dimensione di U è 2? Perché ci sono 2 variabili indipendenti?

[Magma1]

Considera l'equazione in tre incognite che caratterizza il tuo spazio:

$ x-2y+z=0 hArr x=2y-z $

In forma matriciale ha il seguente aspetto

$( ( 1 , -2 ,1 ),( 0,0,0 ),( 0,0,0 ) ) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

La cui soluzione è

$((2y-z),(y),(z))=y((2),(1),(0))+z((-1),(0),(1))$

Ovvero la soluzione del sistema è dato dalla combinazione lineare di due vettori

$U=mathcal(L){((2),(1),(0)),((-1),(0),(1))}$

poiché $U$ è generato da due soli vettori non proporzionali, allora essi sono l.i. e, pertanto, costituiscono una base di $U$.

In conclusione si ha che

$dim(U)=2$

[handuup]

Grazie! Ora ho capito.