Esercizio su matrici simmetriche, autovettori ed autospazi
Salve a tutti, provando a completare le prove precedenti dell'esame di geometria ed algebra lineare mi sono imbattuto in questo
Ho provato in tutti i modi a pensarci, ma non so da dove partire, qualcuno mi può dare una mano? (Tra l'altro è l'unica tipologia di esercizio che non capisco ...)
EDIT: Non so perché ma mi taglia l'immagine.
Vi linko direttamente l'hosting su imgur: https://imgur.com/a/Z40Vk
Ho provato in tutti i modi a pensarci, ma non so da dove partire, qualcuno mi può dare una mano? (Tra l'altro è l'unica tipologia di esercizio che non capisco ...)
EDIT: Non so perché ma mi taglia l'immagine.
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Risposte
Puoi ragionare anche per esclusione. La prima non è corretta in quanto le coordinate del vettore dato soddisfano i requisiti di appartenenza a \(V_1\), e autovettori relativi ad autospazi diversi sono linearmente indipendenti (la somma tra autospazi è diretta). La terza (basso a sinistra) è palesemente ottenuta prendendo come coordinate dei vettori i coefficienti delle incognite che definiscono l'autospazio relativo all'autovalore 1. È pura eresia! L'ultima è invece corretta, in quanto essendo la matrice diagonalizzabile e avendo l'autospazio relativo all'autovalore 1 dimensione unitaria, il rimanente deve avere dimensione 2, che dev'essere anche coincidente con la sua molteplicità algebrica. Poiché il determinante è il prodotto degli autovettori si ha che questo è \( -4*(-4)*1 = 16\)
La seconda a destra è vera se la matrice è reale, ma non viene specificato. Se invece è complessa quello è vero solo se la matrice commuta con la sua trasposta coniugata.
La seconda a destra è vera se la matrice è reale, ma non viene specificato. Se invece è complessa quello è vero solo se la matrice commuta con la sua trasposta coniugata.
Ciao, grazie della risposta. Non ho capito alcune cose:
1) Non ho capito quindi se è corretta o no, perché l'esercizio riporta questa affermazione come vera.
Scusami, ma le equazioni dell'autospazio \(\displaystyle V_1 \)
\(x + y + z = 0 \)
\(x - 2z = 0 \)
non sono linearmente indipendentI? La dimensione dell'autospazio \(\displaystyle V_1\) non dovrebbe essere 2?
"iTz_Ovah":
La terza (basso a sinistra) è palesemente ottenuta prendendo come coordinate dei vettori i coefficienti delle incognite che definiscono l'autospazio relativo all'autovalore 1. È pura eresia!
1) Non ho capito quindi se è corretta o no, perché l'esercizio riporta questa affermazione come vera.
"iTz_Ovah":
L'ultima è invece corretta, in quanto essendo la matrice diagonalizzabile e avendo l'autospazio relativo all'autovalore 1 dimensione unitaria, il rimanente deve avere dimensione 2, che dev'essere anche coincidente con la sua molteplicità algebrica. Poiché il determinante è il prodotto degli autovettori si ha che questo è \( -4*(-4)*1) = 16\)
Scusami, ma le equazioni dell'autospazio \(\displaystyle V_1 \)
\(x + y + z = 0 \)
\(x - 2z = 0 \)
non sono linearmente indipendentI? La dimensione dell'autospazio \(\displaystyle V_1\) non dovrebbe essere 2?
Per quanto riguarda la correttezza della risposta in basso a destra, chiaramente no! Chi ha scritto la risposta ha ben pensato appunto di prelevare i coefficenti delle incognite nelle equazioni che definiscono l'autospazio rimanente.
Facci caso: le equazioni che definiscono \(V_1\) sono \(x+y+z = 0\), con coefficienti delle incognite \((1,1,1)\), e \(x -2z = 0\) con coefficienti delle incognite \((1,0,-2)\)
La risposta ritiene che i vettori così ottenuti generino l'autospazio \(V_{-4}\), il ché è assurdo!
Non è così (spero che capisca perché) che si determina l'altro autospazio. D'altra parte per quanto riguarda la tua osservazione, l'autospazio è dato dallo spazio delle soluzioni di quel sistema, che ha 3 incognite e la cui matrice associata (appunto perché come osservi tu le equazioni sono linearmente indipendenti) ha rango 2. Allora per il teorema di Rouché-Capelli ha uno spazio delle soluzioni di dimensione (numero di incognite) - (rango della matrice ridotta) = 3 -2 = 1. L'autospazio ha dimensione 1.
Facci caso: le equazioni che definiscono \(V_1\) sono \(x+y+z = 0\), con coefficienti delle incognite \((1,1,1)\), e \(x -2z = 0\) con coefficienti delle incognite \((1,0,-2)\)
La risposta ritiene che i vettori così ottenuti generino l'autospazio \(V_{-4}\), il ché è assurdo!
Non è così (spero che capisca perché) che si determina l'altro autospazio. D'altra parte per quanto riguarda la tua osservazione, l'autospazio è dato dallo spazio delle soluzioni di quel sistema, che ha 3 incognite e la cui matrice associata (appunto perché come osservi tu le equazioni sono linearmente indipendenti) ha rango 2. Allora per il teorema di Rouché-Capelli ha uno spazio delle soluzioni di dimensione (numero di incognite) - (rango della matrice ridotta) = 3 -2 = 1. L'autospazio ha dimensione 1.
"iTz_Ovah":
D'altra parte per quanto riguarda la tua osservazione, l'autospazio è dato dallo spazio delle soluzioni di quel sistema, che ha 3 incognite e la cui matrice associata (appunto perché come osservi tu le equazioni sono linearmente indipendenti) ha rango 2. Allora per il teorema di Rouché-Capelli ha uno spazio delle soluzioni di dimensione (numero di incognite) - (rango della matrice ridotta) = 3 -2 = 1. L'autospazio ha dimensione 1.
Questa ho risolto pensandoci dopo, grazie per avermi dato la conferma
"iTz_Ovah":
Per quanto riguarda la correttezza della risposta in basso a destra, chiaramente no! Chi ha scritto la risposta ha ben pensato appunto di prelevare i coefficenti delle incognite nelle equazioni che definiscono l'autospazio rimanente.
Facci caso: le equazioni che definiscono \(V_1\) sono \(x+y+z = 0\), con coefficienti delle incognite \((1,1,1)\), e \(x -2z = 0\) con coefficienti delle incognite \((1,0,-2)\)
La risposta ritiene che i vettori così ottenuti generino l'autospazio \(V_{-4}\), il ché è assurdo!
Non è così (spero che capisca perché) che si determina l'altro autospazio.
Dalla tua affermazione però ho notato una cosa: in quasi tutti gli esercizi simili dove c'è esplicitata l'equazione di un'autospazio, l'altro autospazio viene creato dallo span del vettore che ha quei medesimi coefficienti e la risposta in tal modo viene sempre segnata corretta.
Ad esempio anche qua.
Non è qualcosa che deriva dal testo?
In questo ultimo caso l'autospazio \(V_3\) ha dimensione 2. Ciò significa che gli unici autovalori sono 1 con molteplicità algebrica e germetica 1, e 3 con molteplicità algebrica e geometrica 2. Il determinante è 9. La giusta è quella in basso a destra.
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