Esercizio riguardante un omomorfismo.
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio preso dagli appunti delle lezioni all'università.
Considerando quest'applicazione lineare $f: R^3->R^2$
$f(x,y,z)=(2x+y,y+2z)$
Ho calcolato ker e immagine.
La trasformazione non è iniettiva ma è suriettiva.
Mi si chiede dopo di calcolare la controimmagine del vettore (5,9) che probabilmente corrisponde ad un insieme di vettori visto che la trasformazione non è iniettiva.
Imposto un sistema : $2x+y=5 y+2z=9$ e mi esce che la controiimagine del vettore è: $t(1,-2,1) +(-2,9,0)$.Si tratta di un'equazione parametrica vettoriale che mi definisce,appunto,una retta in $R^3$.
La direzione della retta è parallela al vettore $(1,-2,1)$ che è infatti il vettore direzione.Ora ho un dubbio,sugli appunti ho scritto: la retta passa per il punto (-2,9,0) (quindi non è un sottospazio perchè non passa per l'origine).E sono d'accordo.Ma (-2,9,0) non è un vettore? Perchè me lo considera un punto?Grazie a tutti.
Considerando quest'applicazione lineare $f: R^3->R^2$
$f(x,y,z)=(2x+y,y+2z)$
Ho calcolato ker e immagine.
La trasformazione non è iniettiva ma è suriettiva.
Mi si chiede dopo di calcolare la controimmagine del vettore (5,9) che probabilmente corrisponde ad un insieme di vettori visto che la trasformazione non è iniettiva.
Imposto un sistema : $2x+y=5 y+2z=9$ e mi esce che la controiimagine del vettore è: $t(1,-2,1) +(-2,9,0)$.Si tratta di un'equazione parametrica vettoriale che mi definisce,appunto,una retta in $R^3$.
La direzione della retta è parallela al vettore $(1,-2,1)$ che è infatti il vettore direzione.Ora ho un dubbio,sugli appunti ho scritto: la retta passa per il punto (-2,9,0) (quindi non è un sottospazio perchè non passa per l'origine).E sono d'accordo.Ma (-2,9,0) non è un vettore? Perchè me lo considera un punto?Grazie a tutti.
Risposte
$L^(leftarrow)({(5,9)})={(x-2,9-2x,x) inRR^3:x inRR}$
Questo è un sottoinsieme di vettori in particolare dove $lambda(1,-2,1)+(-2,9,0)$ è una somma di vettori di cui uno è fisso e l’altro varia.
A mio avviso non è niente di più e niente di meno che questo. A meno che tu non prenda davvero la retta $(-2,9,0)+<(1,-2,1)>$ considerando $(-2,9,0)$ come punto e dire che la controimmagine del vettore $(5,9)$ è quella retta affine.
Ma nemmeno ha chissà quale senso, visto che comunque parliamo di vettori.. secondo me a volte queste ambiguità nascono quando si considerano due stesse strutture come qualcosa di diverso, per esempio una volta un insieme di punti e una volta uno spazio vettoriale, secondo me bisognerebbe dare a ogni cosa la propria struttura, poi boh.
Questo è un sottoinsieme di vettori in particolare dove $lambda(1,-2,1)+(-2,9,0)$ è una somma di vettori di cui uno è fisso e l’altro varia.
A mio avviso non è niente di più e niente di meno che questo. A meno che tu non prenda davvero la retta $(-2,9,0)+<(1,-2,1)>$ considerando $(-2,9,0)$ come punto e dire che la controimmagine del vettore $(5,9)$ è quella retta affine.
Ma nemmeno ha chissà quale senso, visto che comunque parliamo di vettori.. secondo me a volte queste ambiguità nascono quando si considerano due stesse strutture come qualcosa di diverso, per esempio una volta un insieme di punti e una volta uno spazio vettoriale, secondo me bisognerebbe dare a ogni cosa la propria struttura, poi boh.
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