Calcolo base spettrale

[zio_mangrovia]

Sia $X=⟨cost, sint⟩$ e $A:X→X$ definito da $A(u)=u′′−u′$, calcolare la base spettrale di $A$ di $X$
Trovo i due autovettori $(i,1)$ e $(-i,1)$ relativi agli autovalori $-i+1$ e $-1-1$.
Ma non riesco a trovare la base spettrale, cioè ho ragionato così:

$(i,1)=icost+sint$
$(-i,1)=-icost+sint$

Non vado oltre, potete darmi una mano sapendo che la soluzione è $e^(it)$ e $e^(-it)$ ?

[Studente Anonimo]

Le tue soluzioni, a meno di un fattore costante, sono le stesse:

$[icost+sint=ie^(-it)] ^^ [-icost+sint=-ie^(it)]$

Avresti potuto procedere anche così:

$[(d^2u)/dt^2-(du)/(dt)=\lambdau] rarr [(d^2u)/dt^2-(du)/(dt)-\lambdau=0]$

$[u=e^(it)] rarr [-1-i-\lambda=0] rarr [\lambda=-1-i]$

$[u=e^(-it)] rarr [-1+i-\lambda=0] rarr [\lambda=-1+i]$

[zio_mangrovia]

"anonymous_0b37e9":Le tue soluzioni, a meno di un fattore costante, sono le stesse:
$[icost+sint=ie^(-it)] ^^ [-icost+sint=-ie^(it)]$

Non capisco il formalismo $^^$, cioè cosa significa?
Poi scusate la domanda banale, ma come si converte dalla forma trigonometrica a esponenziale? A me non torna.
Per esempio se $rho e^itheta=rho(costheta)+isin(theta)$ quindi
$icost+sint=$ ?

"anonymous_0b37e9":
Avresti potuto procedere anche così:

$[(d^2u)/dt^2-(du)/(dt)=\lambdau] rarr [(d^2u)/dt^2-(du)/(dt)-\lambdau=0]$

$[u=e^(it)] rarr [-1-i-\lambda=0] rarr [\lambda=-1-i]$

$[u=e^(-it)] rarr [-1+i-\lambda=0] rarr [\lambda=-1+i]$

[Studente Anonimo]

"anonymous_0b37e9":
$[icost+sint=ie^(-it)] ^^ [-icost+sint=-ie^(it)]$

"zio_mangrovia":
Non capisco il formalismo $^^$, cioè, cosa significa?

Significa che valgono entrambe. Inoltre:

$ie^(-it)=i[cos(-t)+isin(-t)]=i(cost-isint)=icost+sint$

$-ie^(it)=-i(cost+isint)=-icost+sint$

[zio_mangrovia]

chiarissimo, grazie. non avevo proprio pensato agli archi associati per cos/sen