Intersezione tra due rette in forma cartesiana?
Salve popolo, vi propongo questo mio dubbio. Mi sto trovando a risolvere il seguente esercizio:
Trova i punti di intersezione tra le rette di equazione cartesiana:
\(\begin{cases} x - y - z - 1 = 0\\ x - 3y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x + y - z - 3 = 0\\ x + 2y + z = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 2y - z - 4 = 0\\ x + 7y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
Ho pensato, visto che di risolvere sistemi di 4 equazioni in tre incognite non mi andava proprio, di ottenere la loro equazione parametrica, per tentare una giocata, che sembra non funzioni.
Per farlo ho cercato un punto su ciascuna delle rette, e la loro direzione. I risultati che ho trovato sono:
Un punto su \(r_1\) è \((3, 0,2)\), la sua direzione è \((2,1,1)\)
Un punto su \(r_2\) è \((0, 1,-2)\), la sua direzione è \((1,-2,3)\)
Un punto su \(r_3\) è \((3, 0,2)\), la sua direzione è \((3,-1,4)\)
Le equazioni parametriche sono:
\(r_1(t) = \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = t \\ z = 2 +t\end{cases} r_2(t) = \begin{cases} x = t \\ y = 1 - 2t \\ z = -2 + 3t \end{cases} r_3(t) = \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -t \\ z = 2+ 4t\end{cases}\)
Allora ho pensato che se se le rette si intersecano esiste un valore del parametro tale per cui, contemporaneamente, sono uguali le componenti x, y, z delle due rette. Allora ho impostato il seguente sistema, per trovare le intersezioni della prima e della seconda:
\(\begin{cases} 3+2t = t\\ t = 1 - 2t \\ 2 +t = -2+3t \end{cases}\)
Che però non ammette soluzione. Invece il punto \((1,-1,1)\) appartiene ad entrambe, ed è dunque il punto di intersezione. Mi chiedevo allora, perché il mio metodo fallisce miseramente?
Grazie in anticipo!!
Trova i punti di intersezione tra le rette di equazione cartesiana:
\(\begin{cases} x - y - z - 1 = 0\\ x - 3y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x + y - z - 3 = 0\\ x + 2y + z = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 2y - z - 4 = 0\\ x + 7y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
Ho pensato, visto che di risolvere sistemi di 4 equazioni in tre incognite non mi andava proprio, di ottenere la loro equazione parametrica, per tentare una giocata, che sembra non funzioni.
Per farlo ho cercato un punto su ciascuna delle rette, e la loro direzione. I risultati che ho trovato sono:
Un punto su \(r_1\) è \((3, 0,2)\), la sua direzione è \((2,1,1)\)
Un punto su \(r_2\) è \((0, 1,-2)\), la sua direzione è \((1,-2,3)\)
Un punto su \(r_3\) è \((3, 0,2)\), la sua direzione è \((3,-1,4)\)
Le equazioni parametriche sono:
\(r_1(t) = \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = t \\ z = 2 +t\end{cases} r_2(t) = \begin{cases} x = t \\ y = 1 - 2t \\ z = -2 + 3t \end{cases} r_3(t) = \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -t \\ z = 2+ 4t\end{cases}\)
Allora ho pensato che se se le rette si intersecano esiste un valore del parametro tale per cui, contemporaneamente, sono uguali le componenti x, y, z delle due rette. Allora ho impostato il seguente sistema, per trovare le intersezioni della prima e della seconda:
\(\begin{cases} 3+2t = t\\ t = 1 - 2t \\ 2 +t = -2+3t \end{cases}\)
Che però non ammette soluzione. Invece il punto \((1,-1,1)\) appartiene ad entrambe, ed è dunque il punto di intersezione. Mi chiedevo allora, perché il mio metodo fallisce miseramente?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Perché il parametro $t $ vale per la prima retta ma non è lo stesso per la seconda retta , dipende da che punto part. Se nella seconda retta chiami il parametro $s $ otterrai il sistema
$3+2t= s$
$ t=1-2s$
$2+t = -2+3s$
che risolto dà $ t= -1; s= 1 $ etc
$3+2t= s$
$ t=1-2s$
$2+t = -2+3s$
che risolto dà $ t= -1; s= 1 $ etc
Ti dico solo una cosa: diventerei omosessuale per te ♥
Questa non l'avevo ancora sentita 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo