Piano e punti

[zio_mangrovia]

Mi aiutate a trovare il procedimento per questo quesito?

Il punto del piano parametrico $⟨(1, 0, −1, 1) , (2, 1, 0, −1)⟩$ di minima distanza da $(0, −1, −1, 1)$

[anto_zoolander]

Puoi considerare che posto $X$ il punti esterno al piano e $P$ un punto del piano:

$vec(PX)=vec(OX)-vec(OP)=vec(OX)-x*vec(w_1)-y*vec(w_2)$

posto $d(x,y)=||vec(OX)-x*vec(w_1)-y*vec(w_2)||^2$

Considerando che poi la radice è una funzione crescente, se trovi il minimo di quella quantità, basterà applicare la radice al risultato.

Basta porre $nablad(x,y)=vec(0)$ e risolvere una semplice disuguaglianza.

Ovviamente ci sono tri metodi, mi andava di proporre questo.

[zio_mangrovia]

Grazie, chiedo troppo per un accenno gli altri due metodi?

[anto_zoolander]

Scusa ho totalmente dimenticato
Intendevo altri, non tre. Uno può essere il seguente

$•$ prendi il punto $P$
$•$ prendi un punto $X$ arbitrario del piano
$•$ calcoli $vec(PX)$ e imponi che sia normale al piano
$•$ calcoli la norma del vettore trovato

Oppure

oss l’origine $O$ appartiene al piano
$•$ prendi $vec(OP)$
$•$ calcoli il vettore $vec(n)$ normale al piano
$•$ calcoli la proiezione di $vec(OP)$ su $vec(n)$ con $(vec(OP)*vec(n))/( ||n||^2)* vec(n)$
$•$ infine $||(vec(OP)*vec(n))/( ||n||^2)* vec(n) ||=(vec(OP)*vec(n))/( ||n|| )$