R^2 e assi cartesiani.
Ciao a tutti, $R^2$ è uno spazio vettoriale che ha dimensione 2. È quindi un piano.Considerando la base canonica, corrisponderebbe al piano individuato dagli assi cartesiani.Ogni punto del piano lo posso ottenere come c.l. dei vettori della base canonica.Se considero un'altra base di $R^2$ ovviamente cambiano anche gli assi che mi individuano il piano(il piano è sempre lo stesso solo che magari sarà ruotato rispetto a prima) .Gli assi che lo individuano saranno sempre perpendicolari tra loro?Come cambiano?Potreste farmi un esempio?
Un'altra cosa:Tramite $R^2$ un piano generico,in realtà lo posso rappresentare perchè basta cambiare la base che mi genera $R^2$ e ho fatto(sarebbe $R^2$ stesso).Quello che non posso fare è consderare un altro piano oltre ad $R^2$ mi verrebbe a coincidere con $R^2$ stesso.Giusto?
Un'altra cosa:Tramite $R^2$ un piano generico,in realtà lo posso rappresentare perchè basta cambiare la base che mi genera $R^2$ e ho fatto(sarebbe $R^2$ stesso).Quello che non posso fare è consderare un altro piano oltre ad $R^2$ mi verrebbe a coincidere con $R^2$ stesso.Giusto?
Risposte
"JackPirri":
Gli assi che lo individuano saranno sempre perpendicolari tra loro?
no.
Come cambiano?
concordemente alla matrice di cambio di base che ha per colonne la nuova base.
Potreste farmi un esempio?
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$$ (fai un disegno!)
Un'altra cosa:Tramite $R^2$ un piano generico,in realtà lo posso rappresentare perchè basta cambiare la base che mi genera $R^2$ e ho fatto(sarebbe $R^2$ stesso).Quello che non posso fare è consderare un altro piano oltre ad $R^2$ mi verrebbe a coincidere con $R^2$ stesso.Giusto?
Non si capisce una sega
Ciao.
Tralasciando questa parte qua:
Un'altra cosa:Tramite R2 un piano generico,in realtà lo posso rappresentare perchè basta cambiare la base che mi genera R2e ho fatto(sarebbe R2 stesso).
Nella seconda parte dell'ultima domanda volevo dire che in $R^2$ un piano non lo posso considerare (oltre ad $R^2$ stesso) perchè verrebbe a coincidere con $R^2$ stesso (un piano lo rappresento attraverso un sottospazio di dimensione 2, e se un sottospazio ha la stessa dimensione dello spazio vettoriale che lo contiene allora è lo spazio vettoriale stesso).Giusto?
Grazie per aver risposto alle domande precedenti.
Tralasciando questa parte qua:
Un'altra cosa:Tramite R2 un piano generico,in realtà lo posso rappresentare perchè basta cambiare la base che mi genera R2e ho fatto(sarebbe R2 stesso).
Nella seconda parte dell'ultima domanda volevo dire che in $R^2$ un piano non lo posso considerare (oltre ad $R^2$ stesso) perchè verrebbe a coincidere con $R^2$ stesso (un piano lo rappresento attraverso un sottospazio di dimensione 2, e se un sottospazio ha la stessa dimensione dello spazio vettoriale che lo contiene allora è lo spazio vettoriale stesso).Giusto?
Grazie per aver risposto alle domande precedenti.
Puoi spiegare meglio la prima parte?
Per la seconda si: se un piano contiene un altro piano, allora sono lo stesso piano.
Per la seconda si: se un piano contiene un altro piano, allora sono lo stesso piano.
"anto_zoolander":
Puoi spiegare meglio la prima parte?
Per la seconda si: se un piano contiene un altro piano, allora sono lo stesso piano.
Nella prima parte volevo dire che $R^2$ è un piano, e dato che un piano lo genero attraverso due vettori linearmente indipendenti allora $R^2$ (in base alla base,scusate il gioco di parole,che considero) può essere qualunque piano.È un'affermazione giusta?
Continuo a non capire...
Vediamo se intendi questo: dato un $RR$-spazio vettoriale $V$ di dimensione $2$ allora $VcongRR^2$ mediante l’isomorfismo $L:RR^2->V$ con $L(x,y)=xvec(e_1)+yvec(e_2)$ dove $B={e_1,e_2}$ è una qualsiasi base di $V$
In sostanza un qualsiasi piano vettoriale è sempre isomorfo al piano $RR^2$
Vediamo se intendi questo: dato un $RR$-spazio vettoriale $V$ di dimensione $2$ allora $VcongRR^2$ mediante l’isomorfismo $L:RR^2->V$ con $L(x,y)=xvec(e_1)+yvec(e_2)$ dove $B={e_1,e_2}$ è una qualsiasi base di $V$
In sostanza un qualsiasi piano vettoriale è sempre isomorfo al piano $RR^2$
No.$R^2$ è uno spazio vettoriale di dimensione 2.Da un punto di vista geometrico è un piano.Un piano lo costruisco con due vettori liberi e generatori(in questo caso considero solo vettori di $R^2$).Se considero una base di $R^2$ ,mi genera un piano (che però è sempre $R^2$),se ne considero un'altra ,stiamo parlando sempre di $R^2$, ma da un punto di vista geometrico è un piano differente dal primo ("cambiano" gli assi che lo determinano).
Permettimi di non essere d’accordo con l’affermazione da un punto di vista geometrico è un piano e ti spiego i motivi.
1) si deve specificare di quale contesto geometrico stiamo parlando. Geometria vettoriale, geometria affine e geometria proiettiva sono già tre geometrie diverse, poi proprio la geometria vettoriale ha dei vincoli mostruosi, basta pensare al fatto che tutti i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale che non contengono l’origine non possono essere sottospazi per ovvie ragioni.
2) stiamo parlando di geometria vettoriale, in cui puoi introdurre questioni metriche con prodotti scalari, norme e farci una ragionevole geometria. Intanto un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione $2$ si definisce come piano vettoriale e qualora sia chiaro il contesto si può escludere ‘vettoriale’.
La differenza sostanziale sta nel fatto che in questi tipi di geometrie le cose sono abbastanza rigorose e tutt’altro che all’acqua di rose. Quello che vuoi fare tu è rappresentare questo bel piano vettoriale con un disegno su carta, nella tua testa o su un software magari, ma tieni sempre ben a mente che si parla di rappresentazione che è ben distante da quello che effettivamente sia.
Potrei dirti che dato un intervallo $I$ chiuso e limitato di $RR$ e lo spazio $C(I)$ delle funzioni continue su $I$ dotato di una opportuna funzione di norma, si possa prendere una funzione $f inC(I)$ e un numero $r>0$ reale e dirti che l’insieme $B(f,r):={g inC(I): d(f,g)=r}$ e asserire che tale insieme possa essere rappresentato come una qualche sfera, per finire nell’essere d’accordo e rimanere comunque dell’idea che se ti mettessi a disegnare circonferenze(in senso elementare, come facevano gli antichi) dicendo che il centro è una funzione e i punti della circonferenza sono altre funzioni che distano da $g$ esattamente $r$ stai sicuro che buona parte della popolazione ci manderebbe al manicomio.
3) ora per essere più vicini all’esempio da te fatto prendiamo il nostro bel piano $RR^2$. Per poter parlare di assi e quanto altro dobbiamo fare due cose: fissare un punto, in cui tutti i vettori verranno applicati e due vettori che mi faranno da base del sistema. Sarebbe anche utile introdurre un concetto di equipollenza tra vettori applicati, ma per adesso concentriamoci su altro. Intanto partiamo dal considerare l’applicazione $a:RR^2timesRR^2->RR^2$ dove nel dominio abbiamo semplicemente $RR^2$ come insieme di punti(per semplicità) e nel codominio $RR^2$ dotato della struttura di spazio vettoriale che conosciamo(per evitare di fare confusione l’$RR^2$ del dominio lo chiamo $A$). L’applicazione la definiamo così $a(P,Q)=Q-P$ ovvero $(x,y)-(a,b):=(x-a,y-b)$
Tale applicazione lega punti e vettori e diremo che $Q-P:=vec(PQ)$ è il vettore che congiunge i punti $P,Q$ questa funzione gode di due proprietà fondamentali
$• forall P,Q,R in A, vec(PQ)=vec(PR)+vec(RQ)$
$• forall P inAforallv inRR^2exists!QinA:vec(PQ)=v$
La seconda ci dice che dato un punto e un vettore, ‘la testa del vettore’ è unicamente individuata.
Questa applicazione ci serve per pensare proprio i vettori come segmenti orientati, altrimenti penso che abbiamo poco senso immaginarmelo. In teoria questo giustifica un po’ le applicazioni fisiche dei vettori: rende felici i fisici e soddisfatti i matematici.
prendiamo un qualsiasi punto $O inA$ e la base di $RR^2$ di prima. Allora fissando $O$ otteniamo che $a(O,P)=vec(OP),forall P inA$ da cui $vec(OP)=x_1i+x_2j$
Ovvero $forall P inAexists!x_1,x_2 inRR:vec(OP)=x_1i+x_2j$
Questo significa aver fissato il sistema di riferimento $Oij$ che ci permette di vedere le rette generate dai vettori della base come ‘assi’ è il punto $O$ come origine comunque degli assi.
Inoltre sappiamo che per l’applicazone i vettori $i,j$ applicati in $O$ mi individuano due punti $U_i,U_j$ tali che $vec(OU_i)=i$ e $vec(OU_j)=j$ per tutti i vettori delle rette $$ e $$ individueremo punti, i punti che determineranno gli assi. Nella nostra testa comincia a materializzarsi l’idea di aver scelto praticamente tutto, ma c’è un ulteriore problema: questi assi come li dobbiamo disporre? qual è l’angolo formato dai vettori $i,j$? qual è la loro lunghezza?
Quindi pensiamo che sia l’ora di dotare $RR^2$ di un prodotto scalare, e lo facciamo ovvero siamo a $(RR^2,*)$ la struttura di spazio euclideo cosicché possiamo parlarlare di angoli, lunghezze e distanze.
Nella ‘nuova geometria’
$•$ una lunghezza è individuata da una funzione di norma
$•$ una distanza(metrica) è individuata da una funzione che soddisfa alcune proprietà
$•$ l'angolo tra due vettori sappiamo com’è definito
Allora per una rappresentazione dobbiamo scegliere anche(magari) delle unità di misura fisiche: per la norma prendiamo magari il centimetro e per l’angolo la misura in radianti.
Quindi ora sappiamo come disporre i vettori e che lunghezza fisica dare ai vettori, abbiamo finito.
Quindi introdurre un sistema di riferimento significa solo dare un modo per individuare un punto a partire da un punto fissato e poter dire dove questo punto si trova.
Chiaramente cambiare origine e assi, significa solo cambiare il punto di vista dal quale un determinato punto viene individuato.
Per esempio preso il riferimento $O’vw$ avremo che $vec(OP)=vec(OO’)+(O’P)$ ovvero che rispetto al nuovo riferimento il punto $P$ sarà dato da un cambiamento di coordinate, che lascia inalterato il piano.
In poche parole non esiste un sistema di riferimento universale che ti da la posizione di qualcosa a prescindere dal tuo volere.
Se io e tu ci mettessimo al quinto piano di un palazzo e vedessimo uno scarafaggio sul pavimento, se io guardo i tuoi occhi e tu guardi lo scarafaggio, la somma vettoriale applicata ai miei occhi punterebbe verso lo scarafaggio.
Questo vuole dirti che un piano è un piano a prescindere dalla posizione in cui ti metti per ‘guardare i suoi punti’.
Spero che apprezzerai quanto scritto.
1) si deve specificare di quale contesto geometrico stiamo parlando. Geometria vettoriale, geometria affine e geometria proiettiva sono già tre geometrie diverse, poi proprio la geometria vettoriale ha dei vincoli mostruosi, basta pensare al fatto che tutti i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale che non contengono l’origine non possono essere sottospazi per ovvie ragioni.
2) stiamo parlando di geometria vettoriale, in cui puoi introdurre questioni metriche con prodotti scalari, norme e farci una ragionevole geometria. Intanto un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione $2$ si definisce come piano vettoriale e qualora sia chiaro il contesto si può escludere ‘vettoriale’.
La differenza sostanziale sta nel fatto che in questi tipi di geometrie le cose sono abbastanza rigorose e tutt’altro che all’acqua di rose. Quello che vuoi fare tu è rappresentare questo bel piano vettoriale con un disegno su carta, nella tua testa o su un software magari, ma tieni sempre ben a mente che si parla di rappresentazione che è ben distante da quello che effettivamente sia.
Potrei dirti che dato un intervallo $I$ chiuso e limitato di $RR$ e lo spazio $C(I)$ delle funzioni continue su $I$ dotato di una opportuna funzione di norma, si possa prendere una funzione $f inC(I)$ e un numero $r>0$ reale e dirti che l’insieme $B(f,r):={g inC(I): d(f,g)=r}$ e asserire che tale insieme possa essere rappresentato come una qualche sfera, per finire nell’essere d’accordo e rimanere comunque dell’idea che se ti mettessi a disegnare circonferenze(in senso elementare, come facevano gli antichi) dicendo che il centro è una funzione e i punti della circonferenza sono altre funzioni che distano da $g$ esattamente $r$ stai sicuro che buona parte della popolazione ci manderebbe al manicomio.
3) ora per essere più vicini all’esempio da te fatto prendiamo il nostro bel piano $RR^2$. Per poter parlare di assi e quanto altro dobbiamo fare due cose: fissare un punto, in cui tutti i vettori verranno applicati e due vettori che mi faranno da base del sistema. Sarebbe anche utile introdurre un concetto di equipollenza tra vettori applicati, ma per adesso concentriamoci su altro. Intanto partiamo dal considerare l’applicazione $a:RR^2timesRR^2->RR^2$ dove nel dominio abbiamo semplicemente $RR^2$ come insieme di punti(per semplicità) e nel codominio $RR^2$ dotato della struttura di spazio vettoriale che conosciamo(per evitare di fare confusione l’$RR^2$ del dominio lo chiamo $A$). L’applicazione la definiamo così $a(P,Q)=Q-P$ ovvero $(x,y)-(a,b):=(x-a,y-b)$
Tale applicazione lega punti e vettori e diremo che $Q-P:=vec(PQ)$ è il vettore che congiunge i punti $P,Q$ questa funzione gode di due proprietà fondamentali
$• forall P,Q,R in A, vec(PQ)=vec(PR)+vec(RQ)$
$• forall P inAforallv inRR^2exists!QinA:vec(PQ)=v$
La seconda ci dice che dato un punto e un vettore, ‘la testa del vettore’ è unicamente individuata.
Questa applicazione ci serve per pensare proprio i vettori come segmenti orientati, altrimenti penso che abbiamo poco senso immaginarmelo. In teoria questo giustifica un po’ le applicazioni fisiche dei vettori: rende felici i fisici e soddisfatti i matematici.
prendiamo un qualsiasi punto $O inA$ e la base di $RR^2$ di prima. Allora fissando $O$ otteniamo che $a(O,P)=vec(OP),forall P inA$ da cui $vec(OP)=x_1i+x_2j$
Ovvero $forall P inAexists!x_1,x_2 inRR:vec(OP)=x_1i+x_2j$
Questo significa aver fissato il sistema di riferimento $Oij$ che ci permette di vedere le rette generate dai vettori della base come ‘assi’ è il punto $O$ come origine comunque degli assi.
Inoltre sappiamo che per l’applicazone i vettori $i,j$ applicati in $O$ mi individuano due punti $U_i,U_j$ tali che $vec(OU_i)=i$ e $vec(OU_j)=j$ per tutti i vettori delle rette $$ e $
Quindi pensiamo che sia l’ora di dotare $RR^2$ di un prodotto scalare, e lo facciamo ovvero siamo a $(RR^2,*)$ la struttura di spazio euclideo cosicché possiamo parlarlare di angoli, lunghezze e distanze.
Nella ‘nuova geometria’
$•$ una lunghezza è individuata da una funzione di norma
$•$ una distanza(metrica) è individuata da una funzione che soddisfa alcune proprietà
$•$ l'angolo tra due vettori sappiamo com’è definito
Allora per una rappresentazione dobbiamo scegliere anche(magari) delle unità di misura fisiche: per la norma prendiamo magari il centimetro e per l’angolo la misura in radianti.
Quindi ora sappiamo come disporre i vettori e che lunghezza fisica dare ai vettori, abbiamo finito.
Quindi introdurre un sistema di riferimento significa solo dare un modo per individuare un punto a partire da un punto fissato e poter dire dove questo punto si trova.
Chiaramente cambiare origine e assi, significa solo cambiare il punto di vista dal quale un determinato punto viene individuato.
Per esempio preso il riferimento $O’vw$ avremo che $vec(OP)=vec(OO’)+(O’P)$ ovvero che rispetto al nuovo riferimento il punto $P$ sarà dato da un cambiamento di coordinate, che lascia inalterato il piano.
In poche parole non esiste un sistema di riferimento universale che ti da la posizione di qualcosa a prescindere dal tuo volere.
Se io e tu ci mettessimo al quinto piano di un palazzo e vedessimo uno scarafaggio sul pavimento, se io guardo i tuoi occhi e tu guardi lo scarafaggio, la somma vettoriale applicata ai miei occhi punterebbe verso lo scarafaggio.
Questo vuole dirti che un piano è un piano a prescindere dalla posizione in cui ti metti per ‘guardare i suoi punti’.
Spero che apprezzerai quanto scritto.
Innanzitutto ti ringrazio.Quindi se ho ben capito $R^2$ è un piano vettoriale (a lezione l'esercitatore ha detto che è un piano), ma lo posso chiamare semplicemente piano una volta noto il contesto geometrico in cui siamo?Mi hai spiegato il percorso che è stato fatto per ricavare un sistema di riferimento in $R^2$ che quindi è un unico piano, se cambio la base che me lo genera non cambia il piano ma il sistema di riferimento rispetto al quale stiamo operando.Giusto?
Si molto spesso dire solo ‘piano’ può essere ambiguo, perché potrebbe non essere chiaro quale sia la definizione.
Certo dire sempre ‘retta vettoriale,piano vettoriale, solido vettoriale’ ecc.. può essere noioso, ma è quasi sempre chiaro il contesto.
Si cambiando il sistema di riferimento cambi praticamente l’occhio con cui guardi i punti dell’insieme. Il piano cambierebbe se al cambiare del sistema di riferimento, esso dovesse andare ad individuare punti che il sistema precedente non individuava, ma ma questo è impossibile.
Cosa ti fa pensare che cambiare sistema di riferimento, comporti il cambiare l’ambiente di lavoro? Hai degli esempi che ti hanno portato ad avere dubbi?
Certo dire sempre ‘retta vettoriale,piano vettoriale, solido vettoriale’ ecc.. può essere noioso, ma è quasi sempre chiaro il contesto.
Si cambiando il sistema di riferimento cambi praticamente l’occhio con cui guardi i punti dell’insieme. Il piano cambierebbe se al cambiare del sistema di riferimento, esso dovesse andare ad individuare punti che il sistema precedente non individuava, ma ma questo è impossibile.
Cosa ti fa pensare che cambiare sistema di riferimento, comporti il cambiare l’ambiente di lavoro? Hai degli esempi che ti hanno portato ad avere dubbi?
No , si trattava di una mia riflessione ma adesso ho capito.
Visto che l'hai citata nel tuo post,volevo farti anche una domanda sulle classi di equipollenza.
Un vettore libero è una classe di equipollenza fra segmenti orientati.
Ma possiamo parlare di equipollenza anche considerando i vettori geometrici (stessa direz,stesso verso,stesso modulo) e scelgo come rappresentante di questa classe il vettore della classe applicato nell' origine.
Infatti si dice che tutti i vettori geometrici sono applicati nell'origine. Volevo sapere se quanto scritto è vero e se una classe di equipollenza di vettori geometrici è anch'essa un vettore libero.Grazie tante.
Visto che l'hai citata nel tuo post,volevo farti anche una domanda sulle classi di equipollenza.
Un vettore libero è una classe di equipollenza fra segmenti orientati.
Ma possiamo parlare di equipollenza anche considerando i vettori geometrici (stessa direz,stesso verso,stesso modulo) e scelgo come rappresentante di questa classe il vettore della classe applicato nell' origine.
Infatti si dice che tutti i vettori geometrici sono applicati nell'origine. Volevo sapere se quanto scritto è vero e se una classe di equipollenza di vettori geometrici è anch'essa un vettore libero.Grazie tante.
"anto_zoolander":
Permettimi di non essere d’accordo con l’affermazione da un punto di vista geometrico è un piano e ti spiego i motivi.
A me questa spiegazione non pare molto chiara e in effetti è un po' fuorviante.
1) si deve specificare di quale contesto geometrico stiamo parlando. Geometria vettoriale, geometria affine e geometria proiettiva sono già tre geometrie diverse, poi proprio la geometria vettoriale ha dei vincoli mostruosi, basta pensare al fatto che tutti i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale che non contengono l’origine non possono essere sottospazi per ovvie ragioni.
Ma ciascuno di questi contesti ha una sua propria nozione di piano, non capisco cosa tu voglia dire.
2) stiamo parlando di geometria vettoriale, in cui puoi introdurre questioni metriche con prodotti scalari, norme e farci una ragionevole geometria. Intanto un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione $2$ si definisce come piano vettoriale e qualora sia chiaro il contesto si può escludere ‘vettoriale’.
Qui, dopo aver detto che non si possono confondere contesti sottilmente diversi, stai facendo esattamente questo
la geometria degli spazi vettoriali è diversa da quella degli spazi vettoriali dotati di un prodotto scalare.Potrei dirti che dato un intervallo $I$ chiuso e limitato di $RR$ e lo spazio $C(I)$ delle funzioni continue su $I$ dotato di una opportuna funzione di norma, si possa prendere una funzione $f inC(I)$ e un numero $r>0$ reale e dirti che l’insieme $B(f,r):={g inC(I): d(f,g)=r}$ e asserire che tale insieme possa essere rappresentato come una qualche sfera, per finire nell’essere d’accordo e rimanere comunque dell’idea che se ti mettessi a disegnare circonferenze(in senso elementare, come facevano gli antichi) dicendo che il centro è una funzione e i punti della circonferenza sono altre funzioni che distano da $g$ esattamente $r$ stai sicuro che buona parte della popolazione ci manderebbe al manicomio.
Cosa c'è di strano, di controintuitivo o di sbagliato in questo asserto?
Lascio perdere il resto del tuo commento. Quello che esso non coglie è che la geometria è una proprietà dello spazio che è indotta dalla sua algebra: $CC$ è una retta, se lo guardi come spazio vettoriali su sé stesso, è un piano, se lo identifichi a $RR^2$, ed è uno spazio di dimensione finita se lo consideri come estensione di $QQ$. Il fatto è che sono gli scalari per cui puoi moltiplicare, e le equazioni che puoi risolvere, a determinare la geometria che ottieni (ad esempio in geometria sintetica, la presenza di un prodotto scalare sul piano proiettivo si esprime con la presenza, sul piano, di una conica non degenere priva di punti reali).
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