Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sono di nuovo alle prese con il tentativo di colmare le mie lacune topologiche.
Vorrei un controllo sul seguente esercizio:
Sia $G$ un gruppo topologico con elemento neutro $e$. Allora
1. Se $H \subset G$ è un sottogruppo, allora anche $\overline{H}$ è un sottogruppo.
2. La componente connessa di $e$ in $G$ è un sottogruppo chiuso.
Dimostrazione:
Sia \( \phi: G \times G \to G \)
\(\quad \quad \quad \,\, (a,b) \mapsto ab^{-1} ...
Salve,
vorrei un consiglio.
Mi servirebbero delle note fatte bene ma molto semplici per introdurre le basi della Topologia. Sono capitato su alcuni argomenti che parlano di Scott topology, un capitolo e poco più, che però devo almeno comprendere intuitivamente cosa accade nell'applicare queste teorie a ciò che sto studiando.
Il libro che uso consiglia alcuni libri, ma è fin troppo per il mio scopo, cerco qualcosa di blando (for dummies?) e che non richieda troppo tempo per essere ...
Ciao, ho provato a risolvere questo esercizio di Geometria ma trovo difficoltà su alcuni punti. L'esercizio e' il seguente:
Si consideri R^2 con la topologia euclidea. Per ogni intero non negativo appartenente a Z, si consideri il sottospazio:
Cn= { (x,y): x^2+ny^2+2x=0}. Poniamo An=R^2\Cn, C=UCn e A=R^2\C
e\ A=R_{2}-C.
Per quali valori di n appartenente a Z:
1.Cn e' chiuso?
2.Cn e' connesso?
3.Cn e' compatto
4.Quante sono le componenti connesse di A0?
5. Quante sono le componenti ...
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio che non saprei bene come risolvere.
Si consideri la matrice reale
$ A=( ( 34 , 15 , 63 ),( 27 , 22 , 63 ),( 27 , 15 , 70 ) ) $
a) Verificare che $7$ è un autovalore di $A$ e trovare le sue molteplicità algebrica e geometrica (non è necessario calcolare il polinomio caratteristico).
b) Dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
a) Data la definizione di autovalore, per un generico vettore deve valere $F(v)=lambda v$. Quindi, se considero ad ...
Ciao ragazzi, sono nuovo e spero di non commettere errori nel porre questa domanda.
Ho un quesito a cui non riesco pienamente a rispondere, che ho trovato in un tema d'esame.
"Dato uno spazio euclideo $X$ e due vettori linearmente indipendenti $ v,w in X $, definire $ A in L(X) $ tramite: $ Ax = <x,v>w $ e quindi calcolare:
1. $ A^T $
2. $ ker(A^T) $
3. $ (im(A))^_|_ $
tendendo come riferimento il prodotto scalare canonico."
Ho provato a risolvere ...
Ciao a tutti, è il mio primo post su questo forum e devo ammettere di essere molto contento d'aver trovato un forum come questo: utile! cmq.. Il mio problema è il sequente: (premetto che a breve avrò l'esame di geometria ed algebra lineare quindi sarei molto lieto di una risposta veloce) non riesco a capire come trovare una base a stringhe, dato un operatore riesco a trovare la sua forma canonica di Jordan, ma poi mi blocco. Io sto studiando su questi appunti: http://www.mat.uniroma2.it/~digennar/Jordan.pdf. Dell'esempio 8 ...
Salve a tutti, sto preparando l' esame di Algebra Lineare al corso di informatica UNIVR ed un esercizio costante negli esami e', data una matrice ed un valore α, calcolare la base ortogonale C(Aα) e la base ortogonale N(Aα), che sono rispettivamente la base ortogonale e la base su spazio nullo.
Inutile dire che ho piu' di un dubbio su questi argomenti, dubbi che non ho sanato ne' guardando i thread su questo forum ne' le lezioni.
partiamo subito con un esempio pratico: ultimo esercizio svolto ...
Vi propongo questo esercizio:
(a) Si determinino autovalori e autospazi per l’applicazione lineare LA: M3(Q) → M3(Q) definita ponendo
LA(X) = XA − AX, al variare di X in M3(Q). A è la matrice di un omomorfismo φ: V→V diagonalizzabile, i cui autovalori sono {1,2,-3}, tutti con molteplicità algebrica pari a uno.
(b) Siano B e C matrici simili in Mn(Q). Che relazioni
ci sono tra gli autovalori e i relativi autospazi delle due applicazioni lineari LB, LC : Mn(Q) → Mn(Q)
definite da LB(X) = XB − BX ...
Devo dimostrare che le matrici $A=((1,1),(0,2))$ e $B=((1,2),(0,2))$ e trovare $S inK^(2,2)$ per cui $B=S^-1AS$
Osservo se sono verificate alcune condizioni necessarie e non sufficienti: $A$ e $B$ condividono lo stesso determinante (2), la stessa traccia (3), lo stesso rango (2) e lo stesso polinomio caratteristico $p(t)=(\lambda-1)(\lambda-2)$. Inoltre sono entrambe diagonalizzabili essendo $rg(A-2I_2)=rg(A-I_2)=rg(B-2I_2)=rg(B-I_2)=1$.
Una base di autovettori per $A$ è ...
Ciao a tutti,
vorrei che mi correggeste questo esercizio.
Si consideri lo spazio $V = CC_3[x] $ dei polinomi complessi di grado minore o uguale a 3 in una variabile, e il sottoinsieme $ X ⊂ V$ dei polinomi complessi $p(x) = alpha x3 + beta x2 + gamma x + delta $ tali che $ p(i) = p(−i), p(1) = 0, alpha, beta, gamma, delta in CC$.
a) Dimostrare che $X$ è un sottospazio e trovarne la dimensione e una base.
b) Completare la base trovata al punto precedente ad una base di V utilizzando vettori della base ${x3 − 2, x, x2 − 1, 2}$.
Io ho risolto in ...
Ciao, studiando la definizione di autovalore di un endomorfismo mi sono imbattuto in questa osservazione.
Sia k€K e f:V->V un endomorfismo.L'applicazione fk:V->V definita da fk(v)=f(v)-kv è lineare.Mi dice che k è un autovalore sse il nucleo dell'ultima applicazione non è banale.Ma quando dice che k è un autovalore si riferisce all'endomorfismo f non ad fk.Giusto?
Buonasera atutti,
Avrei un dubbio su un esercizio di geometria in r^3:
Il testo mi da due vettori di giaciutura v1 (2,-1,0) v2 (0,-1,1)
Una richiesta a cui non trovo soluzione neanche consultando vari libri dice:
Dato v3=v1 vettor v2 trovare la proiezione del punto ( nel mio caso origine) nel sistema di riferimento v1 v2 v3.
Grazie in anticipo
.. non so come muovermi dopo aver fatto il prodotto vettoriale...
La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea associata all'equazione del piano.
E' possibile dimostrare una cosa del genere??
Il prof chiede di dimostrare questo teorema:
associazione della matrice $M_{B'B}(f)$ di un applicazione lineare f, fissate le basi $B$ nello spazio di partenza e $B'$ in quello d'arrivo
Dove sbatto la testa??? qualcuno mi aiuta??
Ho difficoltà con la dimostrazione di questo teorema:
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Ho provato a risolvere per induzione
Consideriamo la combinazione lineare: $a_1v_1+...+a_nv_n=0$.
Moltipicando per $A$ segue: $a_1aAv_1+...+a_nAv_n=0$
da cui :$a_1lambdav_1+...a_nlambda_nv_n=0$
sottreando per $lambda_1$: $(lambda_2-lambda_1)a_2v__2+...+(lambda_n-lambda_1)a_nv_n=0$
Per ipotesi induttiva ${v_2,...,v_n}$ sono indipendenti. Quindi $(lambda_i-lambda_1)a_i=0$ per $i=2,..,n$.
Siccome ...
Vorrei sapere come si fanno le dimostrazioni delle proprietà dei determinanti:
1) il $det$ della matrice identità è $1$;
2)se tutti gli elementi di una riga sono nulli il $det=0$;
3) se una matrice ha due colonne uguali il $det=0$;
4) se in una matrice si scambiano due colonne il $det$ cambia segno;
5) $detA= det^tA$;
6)esiste un unico determinante;
Ad esempio io credo di poter dimostrare la 1) e 3) applicando laplace...giusto?? ma ...
Salve vorrei capire come faccio a calcolare la retta passante per p(1,1,1) incidente ad r e perpendicolare ad s.
r: x=t y=-1+t z=1+t s:{x+y+2z-1 ed x-y+z-2
grazie in anticipo
Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio (tratto da "Algebraic Topology" di A. Hatcher).
Si richiede di mostrare che $H_1(RR, QQ)$, ovvero il primo gruppo di omologia singolare relativa di $RR$ e del sottospazio $QQ$, è un gruppo abeliano libero e di trovarne una base. La prima parte l'ho risolta sfruttando la sequenza esatta lunga in omologia relativa, per cui $H_1(RR,QQ)$ è effettivamente abeliano libero poiché isomorfo ad un sottogruppo di ...
Dati due spazi topologici X e Y omoticamente equivalenti devo dimostrare che supposto X connesso per archi allora anche Y è connesso per archi.
Come posso fare??
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