Ortogonale sottospazio immagine.

[BRN1]

Ciao, riuscirò mai ad imparare a svolgere questi esercizi???

Nello spazio euclideo $RR^3$ dotato del prodotto scalare standard, si consideri la proiezione ortogonale $p:RR^3 rarr RR^3$ sul sottospazio $W$ generato dai vettori $(1,0,1)^t$ e $(2,1,1)^t$.

a) Determinare la matrice associata a $p$ rispetto alla base canonica di $RR^3$.
b) Determinare l'ortogonale di $Im(p)$.

Per il punto a) non mi dilungo nei conti perchè sono sicuro del mio risultato:

$M_p=((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3))$

Per il punto b), in pratica dovrei applicare la proiezione ai vettori che formano la base del sottospazio immagine si $p$ stesso, giusto?
La matrice associata alla proiezione ortogonale è composta dai vettori che generano il sottospazio immagine, pertanto ne cerco la base:

$((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3)) rarr ((2,1,1),(0,3/2,-3/2),(0,0,0))$

quindi

$B_(Im(p))={((2/3),(1/3),(1/3)),((1/3),(2/3),(-1/3))}$

A questi applico la proiezione ortogonale:

$((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3)) ((2/3,1/3),(1/3,2/3),(1/3,-1/3))=((2/3,1/3),(1/3,2/3),(1/3,-1/3))$

$B_(Im(p))^(_|_)={((2/3),(1/3),(1/3)),((1/3),(2/3),(-1/3))}$

Rimango un po' perplesso...

Che mi dite?

[Studente Anonimo]

Se ho capito bene la consegna, mi sembra che tu ti stia complicando la vita. Se hai svolto il punto a) determinando i seguenti vettori di modulo unitario:

$((sqrt2/2),(0),(sqrt2/2)) ^^ ((sqrt6/6),(sqrt6/3),(-sqrt6/6))$

per il punto b) è sufficiente determinare il loro prodotto vettoriale:

$((veci,vecj,veck),(sqrt2/2,0,sqrt2/2),(sqrt6/6,sqrt6/3,-sqrt6/6))=-sqrt12/6veci+sqrt12/6vecj+sqrt12/6veck=((-sqrt12/6),(sqrt12/6),(sqrt12/6))$

In definitiva:

$[Im(p)]^(_|_)=span((-sqrt12/6),(sqrt12/6),(sqrt12/6))$

[BRN1]

Non ho proprio pensato al prodotto vettoriale, che in effetti è ortogonale ai due vettori che si moltiplicano. Mi pareva una cosa più sensata usare la matrice rappresentativa della proiezione ortogonale, ma a questo punto mi chiedo concettualmente cosa ci sia di sbagliato.

[Studente Anonimo]

"BRN":
... dovrei applicare la proiezione ai vettori che formano la base del sottospazio immagine di $p$ stesso ...

Già l'affermazione di cui sopra presenta dei problemi. Il sottospazio vettoriale immagine di $p$ è il sottospazio delle proiezioni. Applicando una seconda volta $p$ al sottospazio delle proiezioni si riottene il sottospazio medesimo.

[BRN1]

Giusto, $p$ proietta solo ed esclusivamente su $W$ e nel puto b) mi si chiede di determinare $W^(_|_)$, quindi non c'è ragione di usare ancora $p$.
Devo prestare più attenzione a queste cose...

Grazie mille ancora una volta!