Introduzione alla Topologia
Salve,
vorrei un consiglio.
Mi servirebbero delle note fatte bene ma molto semplici per introdurre le basi della Topologia. Sono capitato su alcuni argomenti che parlano di Scott topology, un capitolo e poco più, che però devo almeno comprendere intuitivamente cosa accade nell'applicare queste teorie a ciò che sto studiando.
Il libro che uso consiglia alcuni libri, ma è fin troppo per il mio scopo, cerco qualcosa di blando (for dummies?) e che non richieda troppo tempo per essere assimilato.
Ho guardato le dispense linkate nel forum, ma non ho un giudizio per capire se è troppo o poco ciò che viene spiegato.
Ringrazio
vorrei un consiglio.
Mi servirebbero delle note fatte bene ma molto semplici per introdurre le basi della Topologia. Sono capitato su alcuni argomenti che parlano di Scott topology, un capitolo e poco più, che però devo almeno comprendere intuitivamente cosa accade nell'applicare queste teorie a ciò che sto studiando.
Il libro che uso consiglia alcuni libri, ma è fin troppo per il mio scopo, cerco qualcosa di blando (for dummies?) e che non richieda troppo tempo per essere assimilato.
Ho guardato le dispense linkate nel forum, ma non ho un giudizio per capire se è troppo o poco ciò che viene spiegato.
Ringrazio
Risposte
[xdom="Martino"]Sposto in Geometria. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Penso che sia utile se ci spieghi quali siano le tue basi di topologia e di matematica ed esattamente in che contesto tu abbia incontrato quella particolare topologia.
"vict85":
Penso che sia utile se ci spieghi quali siano le tue basi di topologia
Le mie conoscenze sulla topologia sono nulle. Per questo cerco un'introduzione
e di matematica
quali basi matematiche bisognerebbe avere?
ed esattamente in che contesto tu abbia incontrato quella particolare topologia.
Il contesto lo riassume questo esercizio:
sto studiando la teoria dei domini, dove si studiano le strutture algebriche dette CPO per l'applicazione nella semantica denotazionale. Questi particolari insiemi possono basarsi su vari teoremi e definizioni. Io in particolare sto studiando l'applicazione con i minimi punti fissi e LUB.
I teoremi si possono basare anche su directed set (non è di mio interesse), reticoli (ho visto qualcosa) e proprio la topologia.
Io ero interessato a "sbordare" dai minimi punti fissi alla topologia (non so ancora cosa significhi e cosa cambi in concreto). Non voglio approfondire la topologia, non è il mio scopo, ma capire ciò che accade e del perchè alcuni teoremi che si basano sulla topologia, sono veri e corretti nel mio contesto.
@Martino:
chiedo venia, ero sicuro di essere in Geometria.
Quello che devi sapere c'é scritto nel problema. Comunque una qualunque dispensa è sufficiente. Probabilmente è sufficiente anche il primo capitolo di alcuni libri di analisi. Una introduzione che parta dagli spazi metrici può fornirti una base meno astratta anche se nel tuo caso è proprio la definizione astratta ad essere utilizzata.
Come dice vict, io eviterei di approfondire troppo l'argomento "topologia", visto che ti bastano le definizioni fondamentali e poco più. Io mi leggerei la pagina di Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space
fino a Examples of topological spaces. Il resto non ti serve.
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space
fino a Examples of topological spaces. Il resto non ti serve.
"vict85":
Quello che devi sapere c'é scritto nel problema
quello è solo un esercizio, era per farvi capire di cosa sto parlando e di come si collega con la topologia.
Oltre quello (mostrato nell'esercizio) ci sono una serie di teoremi dove viene detto tipo: "questo è un classico risultato della topologia..." e via di dimostrazione; si può dimostrare con più strade (passando, come detto, per i reticoli, ecc...), ma a me interessa capire anche la parte "topologica" (se esiste sta parola).
vediamo comunque, se mi basta anche wiki ancora meglio
vi ringrazio molto delle risposte
Salve,
mi limito a copiare un mio intervento in un altro topic:
Topologie I di Casimir Kuratowski - parte prima http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Topologie I di Casimir Kuratowski - parte seconda http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Lectures - School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland - di D. R. Wilkins
http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Courses/
Polska Biblioteka Wirtualna Nauki - Kolekcja Matematyczna - icm : monografie matematiche di matematici: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl
Speriamo che capisca qualcosa di inglese e francese.
Cordiali saluti
P.S.=Ti segnalo anche:
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/
http://projecteuclid.org/DPubS?Service= ... dle=euclid (prova a cercare qualcosa qui)
http://www.caressa.it/pdf/topologie.pdf
http://www.caressa.it/pdf/metriche.pdf
mi limito a copiare un mio intervento in un altro topic:
Topologie I di Casimir Kuratowski - parte prima http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Topologie I di Casimir Kuratowski - parte seconda http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Lectures - School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland - di D. R. Wilkins
http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Courses/
Polska Biblioteka Wirtualna Nauki - Kolekcja Matematyczna - icm : monografie matematiche di matematici: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl
Speriamo che capisca qualcosa di inglese e francese.
Cordiali saluti
P.S.=Ti segnalo anche:
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/
http://projecteuclid.org/DPubS?Service= ... dle=euclid (prova a cercare qualcosa qui)
http://www.caressa.it/pdf/topologie.pdf
http://www.caressa.it/pdf/metriche.pdf
I concetti fondamentali di topologia sono relativamente pochi e piuttosto "tecnici". In gran parte sono la generalizzazione di concetti provenienti dall'analisi e dalla teoria degli insiemi anche se sono risultati utili anche in altri campi.
Per impararli in genere non ci vuole molto; saperli usare è invece un po' più complesso.
Per impararli in genere non ci vuole molto; saperli usare è invece un po' più complesso.
Sono d'accordo ancora una volta con vict. In particolare, di tutta questa eccessivamente grande mole di roba suggerita:
salverei solo, al massimo, gli ultimi due link. Ma comunque è troppo. Troppo materiale, in questa circostanza, è molto più pericoloso di troppo poco materiale.
"garnak.olegovitc":
Salve,
mi limito a copiare un mio intervento in un altro topic:
Topologie I di Casimir Kuratowski [...]
http://www.caressa.it/pdf/topologie.pdf
http://www.caressa.it/pdf/metriche.pdf
salverei solo, al massimo, gli ultimi due link. Ma comunque è troppo. Troppo materiale, in questa circostanza, è molto più pericoloso di troppo poco materiale.
La base di ogni topologia (la topologia di Scott è legata alle entità dell' informatica, cioè le funzioni computabili) ritroviamo alcuni generatori, cioè
Spettro di un anello (Spectrum of a Ring)
Spazi spettrali (Teorema Spettrale di Hillbert)
Topologia Prodotto (Product Space)
Da cui possiamo collegarci con
Spazi metrici, spazi topologici
la dualità di Stone
e quindi arrivare fino alla loro costruzione seguendo questo metodo
https://ac.els-cdn.com/S016800721100093 ... 911eb14fb4
Il concetto di Topologia va riletto in questa ottica, oggi (vedi Paul Taylor)
https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_topology
Importantissimo collegamento tra informatica e fisica, in particolare per capire la differenza tra simulazione informatica e realtà 'fisica' -> ricordo che Hillbert, con la sua Teoria Spettrale ha portato lo spazio euclideo, quello in 3 dimensioni ad uno spazio di funzioni facendo nascere la fisica quantistica che altro non è che uno spazio metrico, dal suo lavoro è arrivato il concetto di topos.
Ovviamente i soliti argomenti dietro sono
- tesi di Church-Turing
- Isomorfismo di Curry-Howard (passaggio teoria insiemi alla teoria dei tipi per poter trattare matematicamente gli oggetti informatici)
Ma tutto questo ha senso solo se si introduce il calcolo lamda e se si propone uno strumento concreto per fare topologia: il compilatore Haskwell per la programmazione funzionale.
https://en.wikipedia.org/wiki/Glasgow_Haskell_Compiler
Allora si che ha senso fare topologia, altrimenti resta teoria.
P.S: un argomento interessante per comprendere le topologie è la convergenza di alcuni concetti che uniscono diversi insiemi, funzioni per poi spiegare la modalità con cui si differenzia il concetto di Topologia da quello di Reticolo: Topologies as points within a Stone space: Lattice theory meets topology
https://ac.els-cdn.com/S016686411200437 ... 4b324180e6
Alla fine si tratta di individuare quel tipo di spazi che permettono di costruire questi stessi concetti per differenziarli, partendo da un elemento che li rappresenta come un insieme indifferenziato (gli spazi di Stone sono un esempio), ma che permette allo stesso tempo di discriminarli: in questo modo hai capra e cavoli, oltre a interiorizzare questi oggetti matematici molto semplici alla fin fine.
La topologia come punti di uno spazi di Stone.. piu facile di cosi, è come parlare di un piano cartesiano, ovviamente quei 'punti' non sono proprio delle coordinate, ecco.
Spettro di un anello (Spectrum of a Ring)
Spazi spettrali (Teorema Spettrale di Hillbert)
Topologia Prodotto (Product Space)
Da cui possiamo collegarci con
Spazi metrici, spazi topologici
la dualità di Stone
e quindi arrivare fino alla loro costruzione seguendo questo metodo
https://ac.els-cdn.com/S016800721100093 ... 911eb14fb4
Il concetto di Topologia va riletto in questa ottica, oggi (vedi Paul Taylor)
https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_topology
Importantissimo collegamento tra informatica e fisica, in particolare per capire la differenza tra simulazione informatica e realtà 'fisica' -> ricordo che Hillbert, con la sua Teoria Spettrale ha portato lo spazio euclideo, quello in 3 dimensioni ad uno spazio di funzioni facendo nascere la fisica quantistica che altro non è che uno spazio metrico, dal suo lavoro è arrivato il concetto di topos.
Ovviamente i soliti argomenti dietro sono
- tesi di Church-Turing
- Isomorfismo di Curry-Howard (passaggio teoria insiemi alla teoria dei tipi per poter trattare matematicamente gli oggetti informatici)
Ma tutto questo ha senso solo se si introduce il calcolo lamda e se si propone uno strumento concreto per fare topologia: il compilatore Haskwell per la programmazione funzionale.
https://en.wikipedia.org/wiki/Glasgow_Haskell_Compiler
Allora si che ha senso fare topologia, altrimenti resta teoria.
P.S: un argomento interessante per comprendere le topologie è la convergenza di alcuni concetti che uniscono diversi insiemi, funzioni per poi spiegare la modalità con cui si differenzia il concetto di Topologia da quello di Reticolo: Topologies as points within a Stone space: Lattice theory meets topology
https://ac.els-cdn.com/S016686411200437 ... 4b324180e6
Alla fine si tratta di individuare quel tipo di spazi che permettono di costruire questi stessi concetti per differenziarli, partendo da un elemento che li rappresenta come un insieme indifferenziato (gli spazi di Stone sono un esempio), ma che permette allo stesso tempo di discriminarli: in questo modo hai capra e cavoli, oltre a interiorizzare questi oggetti matematici molto semplici alla fin fine.
La topologia come punti di uno spazi di Stone.. piu facile di cosi, è come parlare di un piano cartesiano, ovviamente quei 'punti' non sono proprio delle coordinate, ecco.
È un necropost pazzesco, di quelli fatti bene
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