Matrici simili
Devo dimostrare che le matrici $A=((1,1),(0,2))$ e $B=((1,2),(0,2))$ e trovare $S inK^(2,2)$ per cui $B=S^-1AS$
Osservo se sono verificate alcune condizioni necessarie e non sufficienti: $A$ e $B$ condividono lo stesso determinante (2), la stessa traccia (3), lo stesso rango (2) e lo stesso polinomio caratteristico $p(t)=(\lambda-1)(\lambda-2)$. Inoltre sono entrambe diagonalizzabili essendo $rg(A-2I_2)=rg(A-I_2)=rg(B-2I_2)=rg(B-I_2)=1$.
Una base di autovettori per $A$ è $B_A={(1,0),(1,1)}$ mentre una base per $B$ è $B_B={(1,0),(2,1)}$ da cui ricavato che le matrici diagonalizzanti, che si ottengono incolonnando i vettori base (giusto?) $N=((1,1),(0,1))$ e $M=((1,2),(0,1))$. Entrambe dovrebbero darmi $((1,0),(0,2))$ ma non mi trovo
Quindi $A$ e $B$ sono simili alla stessa diagonale e sono simili.
Poi $N^(-1)AN=D=M^(-1)BM$ da cui si trae $B=(MN^(-1))^(-1)A(NM^(-1))$
Questo procedimento suggeritomi dal testo (di far vedere che entrambe le matrici sono simili ad una diagonale) è generale (a prescindere degli eventuali errori di conto)?
Cioè l'unica matrice simile ad una diagonale $D$ che sia diagonale è solo $D$ stessa?
Osservo se sono verificate alcune condizioni necessarie e non sufficienti: $A$ e $B$ condividono lo stesso determinante (2), la stessa traccia (3), lo stesso rango (2) e lo stesso polinomio caratteristico $p(t)=(\lambda-1)(\lambda-2)$. Inoltre sono entrambe diagonalizzabili essendo $rg(A-2I_2)=rg(A-I_2)=rg(B-2I_2)=rg(B-I_2)=1$.
Una base di autovettori per $A$ è $B_A={(1,0),(1,1)}$ mentre una base per $B$ è $B_B={(1,0),(2,1)}$ da cui ricavato che le matrici diagonalizzanti, che si ottengono incolonnando i vettori base (giusto?) $N=((1,1),(0,1))$ e $M=((1,2),(0,1))$. Entrambe dovrebbero darmi $((1,0),(0,2))$ ma non mi trovo
Quindi $A$ e $B$ sono simili alla stessa diagonale e sono simili.
Poi $N^(-1)AN=D=M^(-1)BM$ da cui si trae $B=(MN^(-1))^(-1)A(NM^(-1))$
Questo procedimento suggeritomi dal testo (di far vedere che entrambe le matrici sono simili ad una diagonale) è generale (a prescindere degli eventuali errori di conto)?
Cioè l'unica matrice simile ad una diagonale $D$ che sia diagonale è solo $D$ stessa?
Risposte
C'è nessuno 
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Hai scritto la prima domanda in modo incompleto: cosa devi dimostrare? Sicuramente devi dimostrare che sono simili.
In ogni caso, si, è una cosa generale. Precisamente, due matrici quadrate \(A\) e \(B\) dello stesso ordine \(n\) e diagonalizzabili sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori. La dimostrazione l'hai già scritta tu.
In ogni caso, si, è una cosa generale. Precisamente, due matrici quadrate \(A\) e \(B\) dello stesso ordine \(n\) e diagonalizzabili sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori. La dimostrazione l'hai già scritta tu.
Grazie per la risposta.
Il mio dubbio (che non ho scritto, stupidamente) è questo: trovo che $A$ e $B$ sono diagonalizzabili ma che $A$ è simile ad una matrice diagonale con autovalori $D_A=((\lambda_1,0),(0,\lambda_2))$ mentre $B$ a $D_B=((\lambda_2,0),(0,\lambda_1))$. Ora $D_A$ e $D_B$ sono simili (e il dubbio è risolto)? Oppure devo stare attento all'ordine quando compongo le basi di autovettori (il dubbio diverrebbe lo stesso risolto)?
Il mio dubbio (che non ho scritto, stupidamente) è questo: trovo che $A$ e $B$ sono diagonalizzabili ma che $A$ è simile ad una matrice diagonale con autovalori $D_A=((\lambda_1,0),(0,\lambda_2))$ mentre $B$ a $D_B=((\lambda_2,0),(0,\lambda_1))$. Ora $D_A$ e $D_B$ sono simili (e il dubbio è risolto)? Oppure devo stare attento all'ordine quando compongo le basi di autovettori (il dubbio diverrebbe lo stesso risolto
)?
"Cantor99":
Ora $D_A$ e $D_B$ sono simili (e il dubbio è risolto)? Oppure devo stare attento all'ordine quando compongo le basi di autovettori (il dubbio diverrebbe lo stesso risolto
Sono vere tutte e due: se hai semplicemente bisogno di dire che sono simili, dell'ordine degli autovettori te ne impippi (
mi fa ridere questa parola). Se invece devi trovare una matrice che coniuga una nell'altra tocca farci attenzione.
Perfetto ora tutto ha senso grazie mille
grazie mille
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