Dimensione e base di un sottospazio di polinomi complessi.

[BRN1]

Ciao a tutti,
vorrei che mi correggeste questo esercizio.

Si consideri lo spazio $V = CC_3[x] $ dei polinomi complessi di grado minore o uguale a 3 in una variabile, e il sottoinsieme $ X ⊂ V$ dei polinomi complessi $p(x) = alpha x3 + beta x2 + gamma x + delta $ tali che $ p(i) = p(−i), p(1) = 0, alpha, beta, gamma, delta in CC$.
a) Dimostrare che $X$ è un sottospazio e trovarne la dimensione e una base.
b) Completare la base trovata al punto precedente ad una base di V utilizzando vettori della base ${x3 − 2, x, x2 − 1, 2}$.

Io ho risolto in questo modo:
a)
un polinomio di grado 3 ha forma $ delta+gamma x + beta x^2 +alpha x^3$ e $V$ ha dimensione 4. Allora:

$p(i)=delta +i gamma -beta -i alpha$
$p(-i)=delta -i gamma + beta +i alpha$
$p(1)=delta + gamma + beta + alpha$

Per dimostrare che X sia un sottospazio di V, devo verificare che $0 in V$, la chiusura rispetto alla somma e la chiusura rispetto al prodotto.
La prima condizione è verificata, non mi dilungo nei conti.
Per la chiusura rispetto la somma considero due polinomi $p1=a+bx+cx^2+dx^3$ e $p2=e+fx+gx^2+hx^3$
$p1+p2=(a+e)+(b+f)x+(c+g)x^2+(d+h)x^3$
Considerando ora i coefficienti e le condizioni su p(i), p(-i) e p(1), deve valere:

$(a+e)+i(b+f)-(c+g)-i(d+h)=(a+ib-c-id)+(e+if-g-ih)=0+0=0$
$(a+e)-i(b+f)+(c+g)+i(d+h)=(a-ib+c+id)+(e-if+g+ih)=0+0=0$
$(a+e)+(b+f)+(c+g)+(d+h)=(a+b+c+d)+(e+f+g+h)=0+0=0$

e questo verifica la chiusura rispetto la somma.
Infine considero $c in RR$
$cp(i)= delta c +i gamma c - beta c-i alpha c= c( delta +i gamma -beta -i alpha)=0$
$cp(-i)= delta c -i gamma c + beta c+i alpha c= c( delta -i gamma +beta +i alpha)=0$
$cp(1)= delta c + gamma c + beta c+ alpha c= c( delta + gamma + beta + alpha)=0$

e questo verifica anche la chiusura rispetto al prodotto. Pertanto X e un sottospazio di V.

Ora, data la matrice dei coefficienti, cerco la dimensione e la base di X tramite la diagonalizzazione di Gauss

$ ( ( 1 , i , - 1, - i),( 1, - i, 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , 1 ) ) rArr ( ( 1 , 1 , 0, - i),( 0, 1, 0 , - i),( 0 , 0 , 1 , 1+i ) ) $

Quindi $dimX=3$
Mettendo a sistema ottengo

$ { ( delta+gamma-i alpha=0 ),( gamma-ialpha=0 ),( beta+(1+i)alpha=0 ),( alpha=alpha ):} rArr( ( delta ),( gamma ),( beta ),( alpha ) ) = alpha ((0),(i),(-i-1),(1)) $

Come mai ho una base di un solo vettore?

b) Completo la base con i vettori dati

$ ( ( 0 , - 2, 0 , - 1, 2 ),( i , 0 , 1 , 0 , 0 ),( - 1-i, 0 , 0 , 1 , 0),( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ) ) rArr ( ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , - 2, 0 , - 1, 2 ),( 0 , 0 , 1 , i/2 , - i),( 0 , 0 , 0 , (1-i)/2 , i+1 ) ) $

$ B_V={( ( 0 ),( i ),( - i-1),( 1 ) ) ,((-2),(0),(0),(1)),((-1),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(0))} $

Mi dareste una vostra opinione? Grazie!

[Studente Anonimo]

"BRN":
$p(-i)=\delta-i\gamma+\beta+i\alpha$

Premesso che hai spagliato un segno, avrei proceduto diversamente:

Polinomio generale

$p(x)=\alphax^3+\betax^2+\gammax+\delta$

Condizioni

$[p(1)=0] rarr [\alpha+\beta+\gamma+\delta=0]$

$[p(i)=p(-i)] rarr [-\alphai-\beta+\gammai+\delta=\alphai-\beta-\gammai+\delta] rarr [\alpha-\gamma=0]$

Sistema

$\{(\alpha+\beta+\gamma+\delta=0),(\alpha-\gamma=0):} rarr \{(\delta=-2\alpha-\beta),(\gamma=\alpha):}$

Polinomio particolare

$p(x)=\alphax^3+\betax^2+\alphax-2\alpha-\beta=\alpha(x^3+x-2)+\beta(x^2-1)$

In definitiva, poiché il polinomio particolare è combinazione lineare dei seguenti due polinomi linearmente indipendenti:

$[x^3+x-2] ^^ [x^2-1]$

esso rappresenta un sottospazio vettoriale di dimensione 2. A questo punto, se si vuole completare la base di cui sopra utilizzando due dei seguenti polinomi:

$[x^3-2] ^^ [x] ^^ [x^2-1] ^^ [2]$

almeno il polinomio $[x^2-1]$, uguale a uno dei due polinomi della base e ottenibile sostituendo $[\alpha=0] ^^ [\beta=1]$, può essere scartato a priori. Inoltre, poiché:

$x^3+x-2=1*(x^3-2)+1*(x)$

si può completare utilizzando:

$[x^3-2] ^^ [2]$

oppure:

$[x] ^^ [2]$

[BRN1]

"anonymous_0b37e9":[quote="BRN"]
$p(-i)=\delta-i\gamma+\beta+i\alpha$

Premesso che hai spagliato un segno
[/quote]

E' vero, ho sbagliato il segno...

Comunque il mio errore vero e proprio è stato aver uguagliato tutto a zero e mettere a sistema tre equazioni, quando avrei dovuto impostare la condizione:

"anonymous_0b37e9":

$[p(i)=p(-i)] rarr [-\alphai-\beta+\gammai+\delta=\alphai-\beta-\gammai+\delta] rarr [\alpha-\gamma=0]$

Grazie mille!

A breve seguirà un altro esercizio