Connessione, compatezza, componenti connesse

[Spence21]

Ciao, ho provato a risolvere questo esercizio di Geometria ma trovo difficoltà su alcuni punti. L'esercizio e' il seguente:

Si consideri R^2 con la topologia euclidea. Per ogni intero non negativo appartenente a Z, si consideri il sottospazio:
Cn= { (x,y): x^2+ny^2+2x=0}. Poniamo An=R^2\Cn, C=UCn e A=R^2\C
e\ A=R_{2}-C.
Per quali valori di n appartenente a Z:
1.Cn e' chiuso?
2.Cn e' connesso?
3.Cn e' compatto
4.Quante sono le componenti connesse di A0?
5. Quante sono le componenti connesse di A2?
6. Dire se C3UC-3 e' connesso.
7.Dire se C e' connesso in R^2.
8.Dire se A e' denso in R^2.

Pensavo di risolverlo facendo la la classificazione della conica e in base a quella dire per quali valori di n il sottospazio e' chiuso, connesso, compatto ecc..
Per n=0 o e' degenere oppure è una parabola. Per n>0 e' un'ellisse, per n<0 e' un'iperbole. Quindi Cn è compatto per n>0 perché ho ellissi che sono chiuse e limitate, Cn è connesso per n>0 e per n=0 perché ho parabole ed ellissi. Cn è chiuso per n<0 n=0 e n>0 perché ellissi, parabole ed iperboli.
Per le componenti connesse per A2 avei un'ellisse quindi 1 componente connessa?
Per A0 non riesco a definirle, mi viene una conica degenere
C3 unione C-3 sarebbe l'unione di un'ellisse e un'iperbole ma non so definire le componenti connesse.
Gli ultimi due non riesco a risolverli...

Spero che riusciate ad aiutarmi.
Grazie mille

[killing_buddha]

Non serve considerare il caso in cui n è negativo...