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Mortafix
Mortafix
15 feb 2018, 10:57
Ciao ragazzi, sono nuovo e spero di non commettere errori nel porre questa domanda.
Ho un quesito a cui non riesco pienamente a rispondere, che ho trovato in un tema d'esame.

"Dato uno spazio euclideo $X$ e due vettori linearmente indipendenti $ v,w in X $, definire $ A in L(X) $ tramite: $ Ax = w $ e quindi calcolare:
1. $ A^T $
2. $ ker(A^T) $
3. $ (im(A))^_|_ $
tendendo come riferimento il prodotto scalare canonico."

Ho provato a risolvere esplicitando le componenti, ma con uno scarso risultato.
Allora, ho provato utilizzando il teorema $ = $.
Quindi, nel mio caso, ottengo, con $ u in R $, $ = < w ,u> = wu = w $
Ma non riesco a capire come arrivare al punto di avere qualcosa in $ u,v,w $ che moltiplichi scalarmente $ x $ per arrivare a trovare $ A^T $.

Per i punti 2 e 3 dovrei riuscire successivamente a trovarli, tramite le definizioni.
Avendo anche a disposizione una prova per verificare la correttezza, poiché $ ker(A^T) = (im(A))^_|_ $.

Qualcuno saprebbe aiutarmi a continuare?
Grazie
Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
15 feb 2018, 12:29
Operatore $A$

$A|x> = |w> = |w> = |w> rarr$

$rarr A = |w>
Operatore $A^t$

$ = = = rarr$

$rarr A^t = |v>
Mortafix
Mortafix
16 feb 2018, 10:33
Grazie per la risposta, prima di tutto!
Adesso che ho l'operatore trasporto $ A^Tx = v $, dovrei trovare $ ker(A^T) = im(A)^_|_ $.

Solo che usando le definizioni mi trovo
$ ker(A^T) = {y : v = 0} $
$ im(A)^_|_ = {y : = 0} $

Non capisco dove sbaglio, perché dovrebbero essere uguali.

Grazie ancora dell'aiuto, sperando di risolvere anche questo problema!
Studente Anonimo
Studente Anonimo
16 feb 2018, 13:34
Poiché:

$A = |w>
$A^t = |v>
non dovresti avere troppe difficoltà nel ricavare:

$ker(A^t)=[span(w)]^(_|_) ^^ im(A)=span(w) rarr ker(A^t)=[im(A)]^(_|_)$
Mortafix
Mortafix
16 feb 2018, 17:52
Il problema è che l'esercizio vuole proprio che io espliciti l'insieme, non solo che dimostri che siano uguali.. uff
Studente Anonimo
Studente Anonimo
16 feb 2018, 19:39
"Mortafix":

... l'esercizio vuole proprio che io espliciti l'insieme ...

Appunto:

$ker(A^t)=[span(w)]^(_|_)$

$im(A)=span(w)$

Mi viene il dubbio che tu non comprenda le notazioni utilizzate.
Mortafix
Mortafix
16 feb 2018, 19:48
Oddio, avevo letto male, scusa :-D
Adesso torna tutto, grazie!!
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