Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera, dovrei dimostrare che se, come di consueto, Gln è il gruppo delle matrici quadrate di dimensione n e Sln è quello delle analoghe matrici con traccia 0, [Gln, Gln] = Sln, dove [] è l'operatore di LIE: tale che per ogni A e B in Gln [A B]= AB-BA.
L'implicazione che [Gln, Gln] è incluso in Sln è semplice e mi è chiara. Quello che non riesco a dimostrare è il viceversa cioè che Sln include [Gln, Gln] ovvero che ogni matrice a traccia 0 può essere scritta come bracket di due matrici ...
Ciao a tutti
oggi vi propongo questo esercizio, dove mi sono cimentato più volte e non riesco a risolverlo
Sia dato l'endomorfismo f:R ²² tale che f (X)=X+2Xᵗ
Scrivere in maniera esplicita l' espressione della f (e questo lo so fare perchè X= $| (a,b),(c,d)|$ quindi lo sostituisco in X+2Xᵗ)
a) determinare la matrice associata rispetto alla basi canoniche
( essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01) Giusto?)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica ...
Ciao a tutti
rieccomi con due nuovi esercizi
testo 1
sia T la $RR^3$ $->$ $RR^4$ definita da T $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$=$((2k x_1-x_3 ),( x_2+kx_3) , (x_1+x_2-x_3) ,( x_1-x_2)) $
Trovare le dim del nucleo e dell' immagine al variare del parametro reale k
stabilire per quali valori di k il vettore v=(3,3,10) appartiene all'immagine di T
soluzione
la matrice associata è (rispetto alla base canonica)
A= $((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$
per rispondere alla prima domanda calcolo il rango di A
facendo l'eliminazione di ...
Ciao a tutti
mi dite se questo esercizio è corretto
Si risolva il sistema lineare, al variare del parametro h
$\{(x + y + z = 1),(x + z+hw = 6),(y-w = -2 ),(x+hy+4z+5w=0):}$
Soluzione
sistema m=4 equazioni ed n=4 incognite con matrice incompleta A=$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5))$
matrice completa B=$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5),(1,6,-2,0))$
riduco con gauss la matrice incompleta e ho
$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5))$ $->$
$((1,1,1,0),(0,1,1,-h),(0,0,3,-h^2+h-5),(0,0,0,1-h))$
det=3h-3 cioè h=1
quindi avrò
rgA=4=rgB=n per h$!=$1 il sistema e determinato e uso cramer.....però mi nasce il ...
Ciao, mi sono imbattuto nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e volevo chiedervi se le osservazioni che farò di seguito sono corrette per rendermi conto se l'ho appresa correttamente.
$AA x,y € K^n$ $|x*y| <= ||x|| ||y||$
Se entrambi i vettori o almeno uno dei due è il vettore nullo di $K^n$ allora le due quantità sono uguali (a zero).
Se i due vettori sono entrambi non nulli, allora possiamo considerare la seguente relazione:
$x*y = ||x|| ||y|| cos(\theta)$
E quindi la disuguaglianza ...
Dato il sottospazio X di $ R^3 $ , di cui a questo punto dell'esercizio conosco la base, determinare due sottospazi A e B tali che:
1) $ A + X = R^4 $ , somma diretta
2) $ B + X = R^4 $ , somma non diretta
La base del sottospazio X è $ B_x = {(0,0,1,2),(1,0,0,1),(1,2,0,6)} $
Per trovare la base di un sottospazio A che soddisfi la 1) mi basta prendere un vettore indipendente rispetto alla base $ B_x$ , ad esempio $(0,0,0,1)$ e verificare che tale vettore non appartenga ad X.
Ma per ...
Ciao a tutti, vi scrivo perché ho un dubbio sulla risoluzione di un sistema tramite eliminazione gaussiana. Ho letto varie discussioni qua ma continuo ad avere dei dubbi.
Partendo dal seguente sistema:
$\{((b+2)x+bt=-2),((b+2)x+(b+1)z+bt=-1),(x+y-bt = 2-b),(y-bt=3-b):}$
a cui è associata la matrice completa
$((b+2,0,0,b,-2),(b+2,0,b+1,b,-1),(1,1,0,-b,2-b),(0,1,0,-b,3-b))$
che tramite eliminazione gaussiana diveniva
$((b+1,b,0,b+2,-1),(0,b,0,b+2,-2),(0,0,1,b+2,1-b),(0,0,0,1,-1))$
Dalla matrice incompleta trovo che il determinante $ b*(b+1)$ è non nullo per b$!=$0 e b$!=$-1, quindi per Rouché Capelli ...
Sto studiando meccanica razionale e ho qualche problema a capire un concetto matematico. Prima presenterò il contesto generale e poi alla fine la domanda vera e propria, riguardante un'applicazione della regola della catena. Spero sia giusta la sezione, dovendo trattare concetti sia di analisi che geometria.
Considero $(\mathbb{E},V,f)$, spazio affine dove $\mathbb{E}$è un insieme di "punti", $V$ è uno spazio vettoriale di vettori geometrici liberi. Dato un segmento orientato ...
Sapreste spiegarmi perché il prodotto scalare nello spazio delle matrici è una generalizzazione di quello tra vettori?
So che il prodotto è definito come la traccia della trasposta di una matrice per l'altra.
Ma non avendo molte altre informazioni non capisco quando sia possibile svolgerlo né come sia connesso al sopracitato prodotto scalare nello spazio dei vettori.
Grazie a tutti per i chiarimenti
Ciao tutti
vi propongo questo esercizio che ho svolto...credo di aver sbagliato la rappresentazione grafica!
Testo:
Trovare e rappresentare nel piano di Gauss l'insieme
{z e C / Re(z)>Im(Z), Re(ì/z)= 4}
Soluzione:
sapendo che z=x+iy , Re(z)=x Im(Z)=y e che |z|=√x²+y² ed i²=-1 facendo così le dovute sostituzioni ottengo:
una retta per Re(z)>Im(Z) di x>y
una circonferenza di C(0,0) e R= 1/2
una circonferenza di c(0,-1/2) R=4 per Re(ì/z)
Ciao a tutti, ho delle difficoltà nel semplificare questi polinomi, l'esercizio consiste non nel risolvere trovando la x, ma nel semplificare usando le proprietà dell'esponenziali:
1- (10)^2x+1 -3x(10)^2x - 7 / (10)^x+1 (il 3x stà come prodotto)
2- (2^3)^2x+1 -1 / (2^3)^2x -1
La seconda presenta la stessa base al num. e den. quindi pare più semplice, ma non avendo i risultati non so se il procedimento che faccio è corretto. Per esempio è lecito semplificare gli esponenziali con la stessa ...
Ciao a tutti
ho svolto questo esercizio e volevo sapere se era giusto
Testo
si consideri i piani s₁ di eq. x+3y+z+k=0 e s₂ di eq. 2kx-(k-2)y+z-9=0, determinare se esistono i valori di k per cui :
s₁, s₂ sono ortogonali
s₁, s₂ sono incidenti
s₁, s₂ sono paralleli
Soluzione
Poichè s₁, s₂ dipendono da un parametro. Occorre studiare al variare del parametro k appartenente ai numeri reali, la compatibilità del sistema lineare parametrico dei piani x+3y+z+k=0 e 2kx-(k-2)y+z-9=0 (cioè li ...
Ciao a tutti, ho un quesito che riguarda la coomologia di De Rham come da titolo ^^ spero possiate aiutarmi.
Allora: l'esercizio che ho incontrato è molto lungo e vi riassumerò in breve tutto ciò che ho trovato; il punto finale richiede di mostrare che i gruppi di coomologia di De Rham di ordine 1 e 2, che d'ora in poi indicheremo come $ H_{dR}^1(M) $ e $ H_{dR}^2(M) $, ove $M$ è la varietà che tra poco vi indicherò, non siano banali.
Ora: $M$ è il ...
Ho il seguente teorema del quale non ho chiare principalmente due cose nella dimostrazione:
Sia S una superficir rigata, essa è sviluppabile se e solo se è un cono, un cilindro o una superficie sviluppabile circoscritta ad una curva
Innanzitutto ho che una superficie rigata è sviluppabile se il piano tangente è fisso lungo ogni generatrice quindi, definendo $x(t,u)=f(t)+ug(t)$ il piano tangente non dipende da u. Il piano tangente è dato da $|y-f-ug, f'+ug', g|=0 $ (indico il determinante). Quindi posso ...
Salve. Ho dei problemi con questo esercizio:
Trovare gli elementi mancanti nella matrice di rotazione \[R=\begin{bmatrix} a & ... & ... \\ ... & 1 & ... \\ ...& ... & a \end{bmatrix} \] sapendo che quelli nella prima colonna sono \(\displaystyle \ge 0 \). Indicare l'asse di rotazione e il significato del parametro $a$. Determinare completamente $R^5$.
Purtroppo sono già fermo al primo punto. So che dovrei imporre delle condizioni, ad esempio \(R^T=R^{-1} \), o \(\det ...
Ciao, abbiamo svolto questo esercizio durante l'esercitazione di Geometria e Algebra Lineare. Ciononostante non riesco a capire l'ultima parte dell'esercizio.
Abbiamo 2 punti, A e B.
A = (1,3)
B = (2,1)
L'esercizio chiede di stabilire se esiste un punto P tale che il modulo del "suo vettore" sia 4 e l'angolo APB sia di 90 gradi.
Il nostro professore ha quindi deciso di mettere a sistema le seguenti equazioni:
Avendo P = (x,y)
Sistema:
- ||P|| = 4 -> ...
Buonasera oh esimi matematici e ingegneri ,certo del vostro esperiente sapere chiedo a voi :
data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ? E se negativo ,in quale caso non lo è ?
Il secondo chiarimento che vi chiedo è il seguente ,trovata la matrice ortogonale che diagonalizza una matrice simmetrica( a coefficienti reali) associata ad un endomorfismo di Rn-prodotto scalare standard ,come posso ottenere una base ortonormale di Rn ...
Ciao ragazzi, allora grande dubbio, spero possiate aiutarmi.
Ho trovato un esercizio che chiede :
Data la curva con rappresentazione parametrica :
$x= 2(t-1)^2$
$y= 4t^2 -8t$
$z= (t-1)^2$
Trovare :
1) il versore tangente $t$ nel punto $P = \gamma (0)$
2) retta tangente $r$ e piano normale $\pi$ nel punto $P$
Il punto $P$ lo ricavo andando a sostituire lo $0$ nella $t$ nella ...
Ciao a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio...
Sia $RR^4$ lo spazio vettoriale euclideo con il prodotto scalare standard. Sia $U_1$ il sottospazio generato dal vettore $(1,1,1,1,)^t$ trasposto ed $U_2$ il sottospazio descritto dalle soluzioni del sistema $x + y = w − 2x = 0$ dove x, y, z, w sono le coordinate in $RR^4$.
1. Determinare una base ortonormale di $U_2$.
2.Completare la base trovata al punto 1) a una base ortonormale di ...
Buonasera!
Come ho scritto nel titolo, ho dei dubbi che mi impediscono di completare l'esercizio qui di seguito:
Per i primi punti non ci sono problemi, riesco agevolmente a disegnare il grafico, trasformare il programma in forma standard e altre operazioni.
Come vedete ci sono anche delle soluzioni, ma non riesco a capire come ci si arriva, tipo nel punto 3 la soluzione è "A(x2, x4, x5), B(x2, x3, x4), C(x1, x2, x3), D(x1, x3, x5), E(x1, x4, x5)." e tra l'altro non mi pare che ci sia il ...
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